محتوا

• مراحل
• روش 1 از 2: نقطه تقاطع دو خط
• روش 2 از 2: مشکلات مربوط به توابع درجه دوم
• نکات

در فضای دو بعدی ، دو خط مستقیم فقط در یک نقطه قطع می شوند که با مختصات مشخص شده است (x ، y). از آنجا که هر دو خط از نقطه تقاطع خود عبور می کنند ، مختصات (x ، y) باید هر دو معادله ای را که این خطوط را توصیف می کنند ، برآورده کنند.با برخی مهارت های اضافی ، می توانید نقاط تقاطع پارابولا و سایر منحنی های درجه دوم را پیدا کنید.

مراحل

روش 1 از 2: نقطه تقاطع دو خط

1. 1 با جدا کردن متغیر y در سمت چپ معادله ، معادله هر خط را بنویسید. اصطلاحات دیگر معادله باید در سمت راست معادله قرار گیرد. شاید معادله ای که به جای "y" به شما داده می شود شامل متغیر f (x) یا g (x) باشد. در این مورد ، چنین متغیری را جدا کنید. برای جداسازی یک متغیر ، ریاضی مناسب را در دو طرف معادله انجام دهید.
   • اگر معادلات خطوط مستقیم به شما داده نشده است ، آنها را بر اساس اطلاعاتی که می دانید پیدا کنید.
   • مثال... خطوط مستقیم با معادلات شرح داده شده است ${ displaystyle y = x + 3}$ و ${ displaystyle y -12 = -2x}$... برای جداسازی y در معادله دوم ، 12 را به دو طرف معادله اضافه کنید: ${ displaystyle y = 12-2x}$
2. 2 عبارات سمت راست هر معادله را برابر کنید. وظیفه ما این است که نقطه تلاقی هر دو خط مستقیم را پیدا کنیم ، یعنی نقطه ای که مختصات آن (x ، y) هر دو معادله را برآورده می کند. از آنجا که متغیر "y" در سمت چپ هر معادله قرار دارد ، عبارات واقع در سمت راست هر معادله را می توان معادل کرد. معادله جدید را بنویسید.
   • مثال... مانند ${ displaystyle y = x + 3}$ و ${ displaystyle y = 12-2x}$، سپس می توانید برابری زیر را بنویسید: ${ displaystyle x + 3 = 12-2x}$.
3. 3 مقدار متغیر "x" را پیدا کنید. معادله جدید تنها شامل یک متغیر "x" است. برای یافتن "x" ، این متغیر را در سمت چپ معادله با انجام ریاضی مناسب در هر دو طرف معادله جدا کنید. شما باید یک معادله از شکل x = __ دریافت کنید (اگر این امکان پذیر نیست ، به انتهای این بخش بروید).
   • مثال. ${ displaystyle x + 3 = 12-2x}$
   • اضافه کردن ${ displaystyle 2x}$ به هر طرف معادله:
   • ${ displaystyle 3x + 3 = 12}$
   • از هر طرف معادله 3 را کم کنید:
   • ${ displaystyle 3x = 9}$
   • هر طرف معادله را بر 3 تقسیم کنید:
   • ${ displaystyle x = 3}$.
4. 4 از مقدار یافت شده متغیر "x" برای محاسبه مقدار متغیر "y" استفاده کنید. برای انجام این کار ، مقدار یافت شده "x" را در معادله (هر) خط مستقیم جایگزین کنید.
   • مثال. ${ displaystyle x = 3}$ و ${ displaystyle y = x + 3}$
   • ${ displaystyle y = 3 + 3}$
   • ${ displaystyle y = 6}$
5. 5 پاسخ خود را بررسی کنید. برای انجام این کار ، مقدار "x" را در معادله دیگر خط جایگزین کرده و مقدار "y" را پیدا کنید. اگر مقادیر y متفاوت دریافت کردید ، صحت محاسبات خود را بررسی کنید.
   • مثال:${ displaystyle x = 3}$ و ${ displaystyle y = 12-2x}$
   • ${ displaystyle y = 12-2 (3)}$
   • ${ displaystyle y = 12-6}$
   • ${ displaystyle y = 6}$
   • ما مقدار مشابهی برای "y" دریافت کردیم ، بنابراین هیچ گونه خطایی در محاسبات ما وجود ندارد.
6. 6 مختصات (x ، y) را بنویسید. با محاسبه مقادیر "x" و "y" مختصات تقاطع دو خط را پیدا کرده اید. مختصات نقطه تقاطع را در فرم (x ، y) بنویسید.
   • مثال. ${ displaystyle x = 3}$ و ${ displaystyle y = 6}$
   • بنابراین ، دو خط در نقطه ای با مختصات (3،6) قطع می شوند.
7. 7 محاسبات در موارد خاص در برخی موارد ، مقدار متغیر "x" یافت نمی شود. اما این بدان معنا نیست که شما اشتباه کرده اید. یک مورد خاص زمانی اتفاق می افتد که یکی از شرایط زیر برآورده شود:
   • اگر دو خط موازی باشند ، قطع نمی شوند. در این حالت ، متغیر "x" به سادگی لغو می شود و معادله به یک برابری بی معنی تبدیل می شود (به عنوان مثال ، ${ displaystyle 0 = 1}$) در این صورت ، در پاسخ خود بنویسید که خطوط مستقیم قطع نمی شوند یا بدون راه حل.
   • اگر هر دو معادله یک خط مستقیم را توصیف کنند ، بی نهایت تعداد نقاط تقاطع وجود خواهد داشت. در این حالت ، متغیر "x" به سادگی لغو می شود و معادله به یک برابری دقیق تبدیل می شود (به عنوان مثال ، ${ displaystyle 3 = 3}$) در این صورت ، در پاسخ خود بنویسید که دو خط مستقیم با هم منطبق هستند.

روش 2 از 2: مشکلات مربوط به توابع درجه دوم

1. 1 تعریف یک تابع درجه دوم در یک تابع درجه دوم ، یک یا چند متغیر دارای درجه دوم (اما نه بالاتر) هستند ، به عنوان مثال ، ${ displaystyle x ^ {2}}$ یا ${ displaystyle y ^ {2}}$... نمودارهای تابع درجه دو منحنی هایی هستند که ممکن است در یک یا دو نقطه متقاطع نباشند یا قطع نشوند. در این بخش ، نحوه یافتن نقطه یا نقاط تقاطع منحنی های درجه دوم را به شما نشان خواهیم داد.
   • اگر معادله شامل عبارت داخل پرانتز است ، پرانتز را گسترش دهید تا از درجه دوم بودن عملکرد اطمینان حاصل کنید. به عنوان مثال ، تابع ${ displaystyle y = (x + 3) (x)}$ درجه دوم است ، زیرا گسترش پرانتز می دهد ${ displaystyle y = x ^ {2} + 3x.}$
   • تابع توصیف دایره شامل هر دو است ${ displaystyle x ^ {2}}$و ${ displaystyle y ^ {2}}$... اگر در حل مشکلات این عملکرد مشکلی دارید ، به بخش "نکات" بروید.
2. 2 با جدا کردن متغیر y در سمت چپ معادله ، هر معادله را بازنویسی کنید. اصطلاحات دیگر معادله باید در سمت راست معادله قرار گیرد.
   • مثال... نقطه (های) تقاطع نمودارها را بیابید ${ displaystyle x ^ {2} + 2x -y = -1}$ و ${ displaystyle y = x + 7}$
   • متغیر y را در سمت چپ معادله عایق بندی کنید:
   • ${ displaystyle y = x ^ {2} + 2x + 1}$ و ${ displaystyle y = x + 7}$.
   • در این مثال ، یک تابع درجه دوم و یک تابع خطی به شما داده می شود. به یاد داشته باشید که اگر دو تابع درجه دوم به شما داده شود ، محاسبات مشابه مراحل زیر است.
3. 3 عبارات سمت راست هر معادله را برابر کنید. از آنجا که متغیر "y" در سمت چپ هر معادله قرار دارد ، عبارات واقع در سمت راست هر معادله را می توان معادل کرد.
   • مثال. ${ displaystyle y = x ^ {2} + 2x + 1}$ و ${ displaystyle y = x + 7}$
   • ${ displaystyle x ^ {2} + 2x + 1 = x + 7}$
4. 4 همه شرایط معادله به دست آمده را به سمت چپ آن منتقل کرده و 0 را در سمت راست بنویسید. برای انجام این کار ، عملیات ریاضی اولیه را انجام دهید. این به شما امکان می دهد معادله حاصل را حل کنید.
   • مثال. ${ displaystyle x ^ {2} + 2x + 1 = x + 7}$
   • "x" را از دو طرف معادله کم کنید:
   • ${ displaystyle x ^ {2} + x + 1 = 7}$
   • از دو طرف معادله 7 را کم کنید:
   • ${ displaystyle x ^ {2} + x-6 = 0}$
5. 5 معادله درجه دوم را حل کنید. با حرکت دادن همه شرایط معادله به سمت چپ آن ، یک معادله درجه دوم دریافت می کنید. می توان آن را به سه طریق حل کرد: استفاده از فرمول ویژه ، تکمیل یک مربع کامل و در نظر گرفتن معادله.
   • مثال. ${ displaystyle x ^ {2} + x-6 = 0}$
   • هنگام محاسبه معادله ، دو عدد دو جمله ای به دست می آورید که برای بدست آوردن معادله اصلی ، آنها را ضرب می کنید. در مثال ما ، ترم اول ${ displaystyle x ^ {2}}$ را می توان به x * x گسترش داد. ورودی زیر را وارد کنید: (x) (x) = 0
   • در مثال ما ، عبارت رایگان -6 را می توان به عوامل زیر بسط داد: ${ displaystyle -6 * 1}$, ${ displaystyle -3 * 2}$, ${ displaystyle -2 * 3}$, ${ displaystyle -1 * 6}$.
   • در مثال ما ، عبارت دوم x (یا 1x) است. هر جفت فاکتور رهگیری (در مثال ما -6) را اضافه کنید تا 1 را بدست آورید. در مثال ما ، جفت فاکتورهای رهگیری مناسب -2 و 3 هستند (${ displaystyle -2 * 3 = -6}$)، مانند ${ displaystyle -2 + 3 = 1}$.
   • جاهای خالی را با جفت اعداد پیدا شده پر کنید: ${ displaystyle (x-2) (x + 3) = 0}$.
6. 6 دومین نقطه تقاطع دو نمودار را فراموش نکنید. با عجله ، می توانید نقطه تقاطع دوم را فراموش کنید. در اینجا نحوه پیدا کردن مختصات x دو نقطه تقاطع است:
   • مثال (عامل سازی)... اگر در معادله ${ displaystyle (x-2) (x + 3) = 0}$ یکی از عبارات داخل پرانتز برابر 0 ، سپس کل معادله برابر 0 خواهد بود. بنابراین ، می توانید آن را به صورت زیر بنویسید: ${ displaystyle x-2 = 0}$ → ${ displaystyle x = 2}$ و ${ displaystyle x + 3 = 0}$ → ${ displaystyle x = -3}$ (یعنی شما دو ریشه معادله پیدا کرده اید).
   • مثال (استفاده از فرمول یا مکمل یک مربع کامل)... هنگام استفاده از یکی از این روش ها ، ریشه مربع در فرایند حل ظاهر می شود. به عنوان مثال ، معادله از مثال ما شکل می گیرد ${ displaystyle x = (- 1 + { sqrt {25}}) / 2}$... به یاد داشته باشید ، وقتی ریشه مربع می گیرید ، دو راه حل به دست می آورید. در مورد ما: ${ displaystyle { sqrt {25}} = 5 * 5}$, و${ displaystyle { sqrt {25}} = (- 5) * (-- 5)}$... بنابراین دو معادله را بنویسید و دو مقدار x را بیابید.
7. 7 نمودارها در یک نقطه قطع می شوند یا اصلاً تلاقی نمی کنند. چنین شرایطی زمانی اتفاق می افتد که شرایط زیر برآورده شود:
   • اگر نمودارها در یک نقطه قطع شوند ، معادله درجه دوم به عوامل مشابه تجزیه می شود ، به عنوان مثال ، (x-1) (x-1) = 0 ، و ریشه مربع 0 در فرمول (${ displaystyle { sqrt {0}}}$) در این حالت ، معادله فقط یک راه حل دارد.
   • اگر نمودارها اصلاً تلاقی نکنند ، معادله به عوامل تجزیه نمی شود و ریشه مربع یک عدد منفی در فرمول ظاهر می شود (به عنوان مثال ، ${ displaystyle { sqrt {-2}}}$) در این صورت ، در جواب بنویسید که بدون راه حل.
8. 8 مقدار یافت شده متغیر "x" را در معادله (هر) منحنی جایگزین کنید. با این کار مقدار متغیر y پیدا می شود. اگر دو مقدار برای متغیر "x" دارید ، مراحل توصیف شده را با هر دو مقدار "x" دنبال کنید.
   • مثال... دو مقدار برای متغیر "x" پیدا کردید: ${ displaystyle x = 2}$ و ${ displaystyle x = -3}$... هر یک از این مقادیر را به یک معادله خطی وصل کنید ${ displaystyle y = x + 7}$... شما دریافت می کنید : ${ displaystyle y = 2 + 7 = 9}$ و ${ displaystyle y = -3 + 7 = 4}$.
9. 9 مختصات نقطه تقاطع را در فرم (x ، y) بنویسید. با محاسبه مقادیر x و y مختصات تقاطع دو نمودار را پیدا کرده اید. اگر دو مقدار "x" و "y" را شناسایی کرده اید ، دو جفت مختصات را بدون اشتباه گرفتن مقادیر مربوطه "x" و "y" بنویسید.
   • مثال... هنگامی که در معادله جایگزین می شود ${ displaystyle x = 2}$ شما دریافت می کنید ${ displaystyle y = 9}$، یعنی یک جفت مختصات (2, 9)... با انجام همان محاسبه با مقدار x دوم ، جفت دوم مختصات را بدست می آورید (-3, 4).

نکات

• تابع توصیف دایره شامل هر دو است ${ displaystyle x ^ {2}}$و ${ displaystyle y ^ {2}}$... برای یافتن نقطه (های) تقاطع یک دایره و یک خط مستقیم ، "x" را با استفاده از یک معادله خطی محاسبه کنید. سپس مقدار x پیدا شده را به تابع توصیف کننده دایره وصل کنید ، و یک معادله درجه دوم ساده دریافت می کنید که ممکن است راه حل نداشته باشد یا یک یا دو راه حل داشته باشد.
• یک دایره و یک منحنی (درجه دوم یا غیر آن) ممکن است در یک ، دو ، سه ، چهار نقطه متقاطع یا متقاطع نباشند. در این مورد ، شما باید مقدار x (نه "x") را پیدا کنید ، و سپس آن را در تابع دوم جایگزین کنید. با محاسبه y ، یک یا دو راه حل دریافت می کنید ، یا هیچ راه حلی ندارید. حالا مقدار یافت شده "y" را به یکی از دو تابع وصل کرده و مقدار "x" را پیدا کنید. در این صورت ، شما یک یا دو راه حل دریافت خواهید کرد ، یا هیچ راه حلی ندارید.