محتوا

• مراحل
• روش 1 از 2: روش جبری
• روش 2 از 2: روش گرافیکی
• نکات
• اخطار

توابع می توانند زوج ، فرد یا عمومی باشند (یعنی نه زوج و نه فرد). نوع عملکرد به وجود یا عدم وجود تقارن بستگی دارد. بهترین راه برای تعیین نوع عملکرد ، انجام یک سری محاسبات جبری است. اما نوع عملکرد را نیز می توان با برنامه آن مشخص کرد. با یادگیری نحوه تعریف نوع توابع ، می توانید رفتار ترکیبات خاصی از توابع را پیش بینی کنید.

مراحل

روش 1 از 2: روش جبری

1. 1 به یاد داشته باشید که مقادیر مخالف متغیرها چیست. در جبر ، مقدار مخالف یک متغیر با علامت "-" (منهای) نوشته می شود. علاوه بر این ، این امر در مورد هر گونه تعیین متغیر مستقل (با حروف) صادق است ${ displaystyle x}$ یا هر نامه دیگری) اگر در تابع اصلی قبلاً علامت منفی در مقابل متغیر وجود داشته باشد ، مقدار مقابل آن یک متغیر مثبت خواهد بود. در زیر نمونه هایی از برخی از متغیرها و معانی متضاد آنها آمده است:
   • معنی معکوس برای ${ displaystyle x}$ هست یک ${ displaystyle -x}$.
   • معنی معکوس برای ${ displaystyle q}$ هست یک ${ displaystyle -q}$.
   • معنی معکوس برای ${ displaystyle -w}$ هست یک ${ displaystyle w}$.
2. 2 متغیر توضیحی را با مقدار مخالف آن جایگزین کنید. یعنی علامت متغیر مستقل را معکوس کنید. مثلا:
   • ${ displaystyle f (x) = 4x ^ {2} -7}$ تبدیل می شود به ${ displaystyle f (-x) = 4 (-x) ^ {2} -7}$
   • ${ displaystyle g (x) = 5x ^ {5} -2x}$ تبدیل می شود به ${ displaystyle g (-x) = 5 (-x) ^ {5} -2 (-x)}$
   • ${ displaystyle h (x) = 7x ^ {2} + 5x + 3}$ تبدیل می شود به ${ displaystyle h (-x) = 7 (-x) ^ {2} +5 (-x) +3}$.
3. 3 تابع جدید را ساده کنید. در این مرحله ، نیازی به جایگزینی مقادیر عددی خاص برای متغیر مستقل نیست. فقط باید تابع جدید f (-x) را ساده کنید تا با تابع اصلی f (x) مقایسه شود. قانون اساسی افزایش را به خاطر بسپارید: افزایش متغیر منفی به توان زوج ، متغیر مثبت و افزایش متغیر منفی به توان فرد منجر به متغیر منفی می شود.
   • ${ displaystyle f (-x) = 4 (-x) ^ {2} -7}$
     • ${ displaystyle f (-x) = 4x ^ {2} -7}$
   • ${ displaystyle g (-x) = 5 (-x) ^ {5} -2 (-x)}$
     • ${ displaystyle g (-x) = 5 (-x ^ {5}) + 2x}$
     • ${ displaystyle g (-x) = - 5x ^ {5} + 2x}$
   • ${ displaystyle h (-x) = 7 (-x) ^ {2} +5 (-x) +3}$
     • ${ displaystyle h (-x) = 7x ^ {2} -5x + 3}$
4. 4 دو تابع را مقایسه کنید. تابع جدید ساده شده f (-x) را با تابع اصلی f (x) مقایسه کنید. اصطلاحات مربوط به هر دو عملکرد را زیر یکدیگر بنویسید و علائم آنها را مقایسه کنید.
   • اگر علائم اصطلاحات مربوطه هر دو تابع منطبق باشند ، یعنی f (x) = f (-x) ، تابع اصلی زوج است. مثال:
     • ${ displaystyle f (x) = 4x ^ {2} -7}$ و ${ displaystyle f (-x) = 4x ^ {2} -7}$.
     • در اینجا علائم اصطلاحات منطبق هستند ، بنابراین عملکرد اصلی زوج است.
   • اگر علائم اصطلاحات مربوطه هر دو تابع در مقابل هم باشند ، یعنی f (x) = -f (-x) ، تابع اصلی زوج است. مثال:
     • ${ displaystyle g (x) = 5x ^ {5} -2x}$، ولی ${ displaystyle g (-x) = - 5x ^ {5} + 2x}$.
     • توجه داشته باشید که اگر هر عبارت را در تابع اول در -1 ضرب کنید ، تابع دوم را دریافت می کنید. بنابراین ، تابع اصلی g (x) فرد است.
   • اگر تابع جدید با هیچ یک از مثالهای بالا مطابقت نداشته باشد ، یک تابع کلی است (یعنی نه زوج و نه فرد). مثلا:
     • ${ displaystyle h (x) = 7x ^ {2} + 5x + 3}$، ولی ${ displaystyle h (-x) = 7x ^ {2} -5x + 3}$... علائم اصطلاحات اول هر دو عملکرد یکسان است و علائم عبارت دوم مخالف یکدیگر هستند. بنابراین ، این تابع نه زوج است و نه فرد.

روش 2 از 2: روش گرافیکی

1. 1 رسم نمودار تابع. برای این کار از کاغذ گراف یا ماشین حساب نمودار استفاده کنید. هر کدام از مقادیر متغیر توضیحی عددی را انتخاب کنید ${ displaystyle x}$ و آنها را به تابع وصل کنید تا مقادیر متغیر وابسته را محاسبه کنید ${ displaystyle y}$... مختصات یافت شده نقاط را در صفحه مختصات بکشید ، و سپس این نقاط را به هم وصل کنید تا نمودار تابع ایجاد شود.
   • مقادیر عددی مثبت را در تابع جایگزین کنید ${ displaystyle x}$ و مقادیر عددی منفی مربوطه به عنوان مثال ، با توجه به تابع ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} +1}$... مقادیر زیر را وصل کنید ${ displaystyle x}$:
     • ${ displaystyle f (1) = 2 (1) ^ {2} + 1 = 2 + 1 = 3}$... با مختصات یک نکته گرفتم ${ displaystyle (1،3)}$.
     • ${ displaystyle f (2) = 2 (2) ^ {2} + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9}$... با مختصات یک نکته گرفتم ${ displaystyle (2.9)}$.
     • ${ displaystyle f (-1) = 2 (-1) ^ {2} + 1 = 2 + 1 = 3}$... با مختصات یک نکته گرفتم ${ displaystyle (-1،3)}$.
     • ${ displaystyle f (-2) = 2 (-2) ^ {2} + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9}$... با مختصات یک نکته گرفتم ${ displaystyle (-2.9)}$.
2. 2 بررسی کنید که آیا نمودار تابع در مورد محور y متقارن است یا خیر. تقارن به آینه سازی نمودار در مورد محور مختصات اشاره دارد. اگر قسمتی از نمودار در سمت راست محور y (متغیر توضیحی مثبت) با قسمتی از نمودار در سمت چپ محور y منطبق باشد (مقادیر منفی متغیر توضیحی) ، نمودار متقارن است محور y اگر تابع درمورد دستور متقارن باشد ، تابع زوج است.
   • می توانید تقارن نمودار را با نقاط جداگانه بررسی کنید. اگر مقدار ${ displaystyle y}$که با مقدار مطابقت دارد ${ displaystyle x}$، با مقدار مطابقت دارد ${ displaystyle y}$که با مقدار مطابقت دارد ${ displaystyle -x}$، تابع زوج است.در مثال ما با تابع ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} +1}$ ما مختصات زیر را از نقاط بدست آوردیم:
     • (1.3) و (-1.3)
     • (2.9) و (-2.9)
   • توجه داشته باشید که وقتی x = 1 و x = -1 ، متغیر وابسته y = 3 است و هنگامی که x = 2 و x = -2 ، متغیر وابسته y = 9 است. بنابراین عملکرد یکنواخت است. در واقع ، برای پیدا کردن شکل دقیق یک تابع ، باید بیش از دو نکته را در نظر بگیرید ، اما روش توصیف شده تقریبی مناسب است.
3. 3 بررسی کنید که آیا نمودار تابع در مورد مبدأ متقارن است یا خیر. مبدا نقطه با مختصات (0،0) است. تقارن در مورد مبدا به معنای مقدار مثبت است ${ displaystyle y}$ (با مقدار مثبت ${ displaystyle x}$) با یک مقدار منفی مطابقت دارد ${ displaystyle y}$ (با مقدار منفی ${ displaystyle x}$)، و بالعکس. توابع فرد در مورد مبدا متقارن هستند.
   • اگر چندین مقدار مثبت و متناظر منفی را در تابع جایگزین کنیم ${ displaystyle x}$، ارزش های ${ displaystyle y}$ از نظر نشانه متفاوت خواهد بود به عنوان مثال ، با توجه به تابع ${ displaystyle f (x) = x ^ {3} + x}$... چندین مقدار را جایگزین آن کنید ${ displaystyle x}$:
     • ${ displaystyle f (1) = 1 ^ {3} + 1 = 1 + 1 = 2}$... یک امتیاز با مختصات (1،2) گرفتم.
     • ${ displaystyle f (-1) = (- 1) ^ {3} + (- 1) =- 1-1 = -2}$... ما یک نقطه با مختصات (-1 ، -2) دریافت کردیم.
     • ${ displaystyle f (2) = 2 ^ {3} + 2 = 8 + 2 = 10}$... یک امتیاز با مختصات (2،10) دریافت کرد.
     • ${ displaystyle f (-2) = (- 2) ^ {3} + (- 2) =- 8-2 = -10}$... ما یک نقطه با مختصات (-2 ، -10) دریافت کردیم.
   • بنابراین ، f (x) = -f (-x) ، یعنی تابع فرد است.
4. 4 بررسی کنید که آیا نمودار تابع تقارن دارد یا خیر. آخرین نوع تابع ، تابعی است که نمودار آن تقارن ندارد ، یعنی هیچ آینه ای در مورد محور مرتب و مبدأ وجود ندارد. به عنوان مثال ، با توجه به تابع ${ displaystyle f (x) = x ^ {2} + 2x + 1}$.
   • چندین مقدار مثبت و متناظر منفی را در تابع جایگزین کنید ${ displaystyle x}$:
     • ${ displaystyle f (1) = 1 ^ {2} +2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4}$... یک امتیاز با مختصات (1،4) گرفتم.
     • ${ displaystyle f (-1) = (-1) ^ {2} +2 (-1) + (-1) = 1-2-1 = -2}$... ما یک نقطه با مختصات (-1 ، -2) دریافت کردیم.
     • ${ displaystyle f (2) = 2 ^ {2} +2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10}$... یک امتیاز با مختصات (2،10) دریافت کرد.
     • ${ displaystyle f (-2) = (-2) ^ {2} +2 (-2) + (-2) = 4-4-2 = -2}$... ما با مختصات (2 ، -2) یک امتیاز گرفتیم.
   • با توجه به نتایج بدست آمده ، هیچ تقارنی وجود ندارد. ارزش ها ${ displaystyle y}$ برای مقادیر متضاد ${ displaystyle x}$ منطبق نیستند و مخالف هم نیستند. بنابراین ، تابع نه زوج است و نه فرد.
   • توجه داشته باشید که تابع ${ displaystyle f (x) = x ^ {2} + 2x + 1}$ می توان اینگونه نوشت: ${ displaystyle f (x) = (x + 1) ^ {2}}$... وقتی به این شکل نوشته می شود ، به نظر می رسد که تابع حتی به این دلیل است که یک نمای زوج وجود دارد. اما این مثال ثابت می کند که اگر متغیر مستقل در داخل پرانتز قرار گیرد ، نمی توان نوع تابع را به سرعت تعیین کرد. در این مورد ، باید براکت ها را باز کرده و نماهای دریافتی را تجزیه و تحلیل کنید.

نکات

• اگر ضریب متغیر مستقل زوج باشد ، تابع زوج است. اگر نماد فرد است ، تابع فرد است.

اخطار

• این مقاله فقط برای توابع با دو متغیر قابل استفاده است که مقادیر آنها را می توان در صفحه مختصات رسم کرد.