محتوا

• مراحل
• مشاوره
• هشدار

از وارونگی اغلب در محاسبات برای ساده سازی مشکلات مسئله دار از راه های دیگر استفاده می شود. به عنوان مثال ، ضرب آن با معکوس کسر راحت تر از تقسیم مستقیم آن بر آن عدد است. این عکس است. به همین ترتیب ، از آنجا که هیچ علامت کسری برای ماتریس وجود ندارد ، شما باید ماتریس معکوس آن را ضرب کنید. محاسبه ماتریس معکوس ماتریس 3x3 می تواند بسیار طاقت فرسا باشد ، اما مسئله ای است که قابل تأمل است. برای این کار می توانید از یک ماشین حساب نمودار پیشرفته نیز استفاده کنید.

مراحل

روش 1 از 3: برای پیدا کردن ماتریس معکوس یک ماتریس اضافی ایجاد کنید

1. 

   تعیین کننده ماتریس را بررسی کنید. مرحله اول: تعیین کننده ماتریس را پیدا کنید. اگر تعیین کننده 0 باشد ، این کار انجام می شود: این ماتریس برگشت پذیر نیست. عامل تعیین کننده ماتریس M را می توان det (M) نشان داد.
   • برای یافتن معکوس ماتریس 3x3 ، ابتدا باید تعیین کننده آن را محاسبه کنید.
   • برای بررسی چگونگی یافتن تعیین کننده ماتریس ، به مقاله یافتن عوامل تعیین کننده ماتریس 3x3 مراجعه کنید.

2. 

   
   
   جابجایی ماتریس اصلی. جابجایی به معنای انعکاس ماتریس در مورب اصلی یا به عبارت دیگر مبادله عنصر (i ، j) و عنصر (j ، i) است. هنگام جابجایی عناصر یک ماتریس ، مورب اصلی (که از گوشه بالا سمت چپ به گوشه پایین سمت راست در حال اجرا است) ثابت می ماند.
   • روش دیگر برای درک جابجایی این است که شما ماتریس را دوباره بنویسید تا ردیف اول به ستون اول ، ردیف میانی به ستون میانی تبدیل شود و ردیف سوم به ستون سوم تبدیل شود. عناصر رنگی را در تصویر بالا یادداشت کرده و به موقعیت جدید اعداد توجه کنید.

3. 

   
   
   تعیین کننده هر زیر ماتریس 2x2 را پیدا کنید. تمام عناصر ماتریس جابجایی 3x3 جدید به یک ماتریس 2x2 مربوط به "زیر" مرتبط هستند. برای یافتن زیر ماتریس هر عنصر ، ابتدا ردیف و ستون عنصر اول را برجسته کنید. هر 5 عنصر برجسته خواهد شد. چهار عنصر باقی مانده زیر ماتریس را تشکیل می دهند.
   • در مثال بالا ، اگر می خواهید زیر ماتریس عنصر را در ردیف دو ، ستون یک پیدا کنید ، پنج قسمت کلمه ای را در ردیف دوم و ستون اول برجسته می کنید. چهار عنصر باقیمانده زیر ماتریس مربوطه هستند.
   • همانطور که در شکل بالا نشان داده شده است ، تعیین کننده هر زیر ماتریس را با ضرب مورب و کم کردن دو محصول از یکدیگر پیدا کنید.
   • برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد ماتریس های فرعی و کاربردهای آنها بیشتر بخوانید.

4. 

   
   
   از زیرمجموعه های جبری ماتریسی درست کنید. نتیجه حاصل از مرحله قبل را با قرار دادن هر تعیین کننده زیر ماتریس در موقعیت مربوطه در ماتریس اصلی ، در یک ماتریس جدید متشکل از زیرمجموعه های جبری قرار دهید. بنابراین ، تعیین کننده محاسبه شده از عنصر (1،1) ماتریس اصلی در موقعیت (1،1) قرار می گیرد. در مرحله بعدی ، باید علامت جایگزینی این ماتریس جدید را مطابق جدول مرجع نشان داده شده در تصویر بالا تغییر دهید.
   • هنگام تعیین علامت ، علامت اولین مولکول پیشرو حفظ می شود. علامت عنصر دوم معکوس می شود. نشانه عنصر سوم حفظ می شود. همین کار را برای بقیه ماتریس ادامه دهید. توجه داشته باشید که علامت (+) یا (-) در نمودار مرجع نشان نمی دهد که تا پایان ، عنصر دارای یک علامت مثبت یا منفی است. آنها فقط نشان می دهند که عناصر دست نخورده نگه داشته می شوند (+) یا با (-) تغییر می یابند.
   • برای اطلاعات بیشتر در مورد ضمائم جبری به اصول ماتریس مراجعه کنید.
   • نتیجه نهایی که در این مرحله می گیریم ماتریس مکمل ماتریس اصلی است. گاهی اوقات ماتریس مزدوج نیز نامیده می شود و با Adj (M) نشان داده می شود.

5. 

   تمام عناصر ماتریس مکمل را بر روی ماده تعیین کننده تقسیم کنید. از تعیین کننده ماتریس M که در مرحله اول محاسبه کرده اید استفاده کنید (برای بررسی برگشت پذیر بودن ماتریس). حال هر عنصر ماتریس را بر این مقدار تقسیم کنید. ضریب هر تقسیم را در موقعیت عنصر اصلی قرار دهید ، و ما ماتریس معکوس ماتریس اصلی را بدست می آوریم.
   • ماتریس نمونه ارائه شده در تصویر دارای تعیین کننده 1 است. بنابراین ، هنگامی که همه عناصر ماتریس مکمل را بر تعیین کننده تقسیم کنیم ، خود را بدست می آوریم (شما همیشه آنقدر خوش شانس نخواهید بود). .
   • برخی از مستندات به جای تقسیم ، این مرحله را به عنوان ضرب هر عنصر M در 1 / det (M) نشان می دهد. از نظر ریاضی ، معادل آنها هستند.
   تبلیغات

روش 2 از 3: برای پیدا کردن ماتریس معکوس ، سطر خطی را کاهش دهید

1. 

   ماتریس واحد را به ماتریس اصلی اضافه کنید. ماتریس پایه M را بنویسید ، یک خط عمودی در سمت راست آن ماتریس بکشید و سپس ماتریس واحد را در سمت راست این خط بنویسید. در این مرحله ، ما یک ماتریس داریم که دارای سه ردیف و شش ستون است.
   • به یاد داشته باشید که ماتریس هویت یک ماتریس ویژه است که تمام عناصر آن بر روی مورب اصلی قرار دارد و از گوشه بالا سمت چپ تا گوشه پایین سمت راست در حال اجرا است ، برابر با 1 و تمام عناصر در موقعیت های باقی مانده برابر با صفر هستند.

2. 

   کاهش ردیف خطی را انجام دهید. هدف در اینجا ایجاد ماتریس واحد در قسمت سمت چپ ماتریس تازه گسترش یافته است. هنگام انجام مراحل کاهش ردیف در سمت چپ ، باید قسمت مربوطه را در سمت راست انجام دهید - بخشی که ماتریس واحد شماست.
   • به یاد داشته باشید که کاهش سطر به عنوان ترکیبی از ضرب اسکالر و جمع یا تفریق ردیف انجام می شود ، تا عناصر جداگانه ماتریس جدا شود.

3. 

   ادامه دهید تا ماتریس واحد تشکیل شود. کاهش خطی را ادامه دهید تا ماتریس هویت ظاهر شود (عناصر مورب برابر با 1 ، سایر عناصر برابر 0) در قسمت سمت چپ ماتریس منبسط شده. پس از رسیدن به این مرحله ، قسمت سمت راست تقسیم کننده عمودی ماتریس معکوس ماتریس اصلی است.

4. 

   ماتریس معکوس را دوباره بنویسید. عناصر موجود در قسمت راست تقسیم کننده عمودی را کپی کنید و آن ماتریس معکوس شما است. تبلیغات

روش 3 از 3: ماتریس معکوس را با ماشین حساب جیبی پیدا کنید

1. 

   یک ماشین حساب انتخاب کنید که بتواند ماتریس ها را حل کند. یک ماشین حساب ساده چهار کاره نمی تواند ماتریس معکوس را مستقیماً برای شما پیدا کند. با این حال ، به دلیل تکرار ریاضی ، یک ماشین حساب نمودار پیشرفته ، مانند Texas Instruments TI-83 یا TI-86 ، می تواند کار شما را تا حد زیادی کاهش دهد.

2. 

   ماتریس را وارد ماشین حساب کنید. ابتدا ، با فشار دادن کلید Matrix ، اگر در دستگاه شما موجود است ، عملکرد Matrix را وارد کنید. با دستگاه Texas Instruments ، باید 2 Matrix را فشار دهید.

3. 

   زیرمنوی ویرایش را انتخاب کنید. برای دسترسی به این زیر منو ، ممکن است لازم باشد که بسته به نوع طراحی آن ، از دکمه های جهت دار استفاده کنید یا کلیدهای عملکرد مناسب واقع در ردیف بالای صفحه کلید کامپیوتر را انتخاب کنید.

4. 

   برای ماتریس خود نامی انتخاب کنید. بیشتر ماشین حساب های جیبی مجهز به کار با 3 تا 10 ماتریس هستند ، حروف نامگذاری شده ، A تا J. به طور معمول ، بیایید شروع کنیم. برای تأیید انتخاب نام ، کلید Enter را فشار دهید.

5. 

   اندازه ماتریس را وارد کنید. این مقاله بر روی ماتریس های 3x3 تمرکز دارد. با این حال ، ماشین حساب های جیبی می توانند ماتریس های بزرگتر را اداره کنند. تعداد ردیف ها را وارد کنید ، Enter را فشار دهید ، سپس شماره ستون را تایپ کنید و Enter را فشار دهید.

6. 

   هر عنصر ماتریس را وارد کنید. یک ماتریس روی صفحه کامپیوتر نمایش داده می شود. اگر قبلاً با تابع ماتریس کار کرده باشید ، ماتریسی که قبلاً با آن کار کرده اید روی صفحه ظاهر می شود. مکان نما اولین عنصر ماتریس را علامت گذاری می کند. مقدار ماتریسی را که می خواهید حل کنید وارد کنید و Enter را فشار دهید. مکان نما به صورت خودکار به عنصر بعدی منتقل می شود ، و مقادیر قبلی را جایگزین می کند.
   • اگر می خواهید اعداد منفی وارد کنید ، از دکمه منفی (-) ماشین حساب خود استفاده کنید ، نه از کلید منهای. تابع ماتریس به درستی خوانده نمی شود.
   • در صورت نیاز ، می توانید از کلیدهای جهت دار روی ماشین حساب خود استفاده کنید تا از طریق ماتریس حرکت کنید.

7. 

   از تابع ماتریس خارج شوید. بعد از وارد کردن کل مقدار ماتریس ، کلید Quit - Exit (یا در صورت لزوم 2 Quit) را فشار دهید. با تشکر از آن ، شما از عملکرد Matrix خارج می شوید و به صفحه نمایش اصلی ماشین حساب برمی گردید.

8. 

   برای یافتن ماتریس معکوس از کلید معکوس استفاده کنید. ابتدا تابع Matrix را دوباره باز کرده و با استفاده از دکمه Names نام ماتریسی را که قبلاً به ماتریس خود می گذاشتید انتخاب کنید (ممکن است باشد). بعد ، کلید معکوس ماشین حساب را فشار دهید ،. بسته به دستگاه ، ممکن است لازم باشد از دکمه 2 استفاده کنید. صفحه نمایش ظاهر می شود. Enter را فشار دهید ، و ماتریس معکوس در صفحه شما ظاهر می شود.
   • هنگام تلاش برای وارد کردن A ^ -1 با کلیک های جداگانه ، از دکمه ^ در رایانه خود استفاده نکنید. کامپیوترها این ریاضیات را درک نخواهند کرد.
   • اگر هنگام فشار دادن کلید معکوس پیغام خطایی دریافت کنید ، به احتمال زیاد ماتریس والد شما قابل برگشت نیست. شاید شما باید برگردید و از نظر کیفی بتوانید علت این خطا را تعیین کنید.

9. 

   ماتریس معکوس را به جواب درست تبدیل کنید. اولین نتیجه برگشتی توسط رایانه به صورت اعشاری نمایش داده می شود. این برای بسیاری از اهداف لزوماً پاسخ "صحیح" نیست. در صورت لزوم باید این جواب اعشاری را به کسر تبدیل کنید (اگر به اندازه کافی خوش شانس باشید ، تمام نتایج شما عدد صحیح است. با این وجود بسیار نادر است).
   • شاید ماشین حساب شما تابعی داشته باشد که اعشار را به صورت خودکار به کسر تبدیل می کند. به عنوان مثال ، هنگام استفاده از TI-86 ، می توانید به تابع Math بروید ، Misc سپس Frac را انتخاب کرده و Enter را فشار دهید. اعشار به صورت خودکار به صورت کسر نشان داده می شوند.
10. بیشتر ماشین حسابهای نمودار دار دارای براکت مربع هستند (برای TI-84 ، یعنی 2 + x و 2nd + -) که به شما امکان می دهد بدون استفاده از تابع ماتریس ، یک ماتریس وارد کنید. توجه: ممکن است یک ماشین حساب ماتریس را قالب بندی نکند تا زمانی که از کلید enter / برابر استفاده شود (یعنی همه چیز در یک ردیف قرار می گیرند و خیلی خوب نیستند). تبلیغات

مشاوره

• برای یافتن وارون ماتریسی که نه تنها شامل اعداد است ، بلکه متغیرها ، ناشناخته ها یا حتی عبارات جبری را نیز می توانید دنبال کنید ، این مراحل را دنبال کنید.
• تمام مراحل را بنویسید زیرا یافتن معکوس ماتریس 3x3 فقط با انجام ریاضی بسیار دشوار است.
• برنامه های محاسبه گر وجود دارد که به شما کمک می کند ماتریس های معکوس ، حداکثر و شامل ماتریس 30x30 را پیدا کنید.
• صرف نظر از روش مورد استفاده ، صحت نتیجه را با ضرب M در M بررسی کنید. شما تأیید خواهید کرد که M * M = M * M = I. در کجا ، I ماتریس واحد است ، از عناصر 1 واقع شده در امتداد مورب اصلی و صفرها در جای دیگر تشکیل شده است. اگر چنین نتیجه ای نگرفتید ، حتماً جایی اشتباه کرده اید.

هشدار

• همه ماتریس های 3x3 ماتریس معکوس ندارند. اگر تعیین کننده 0 باشد ، آن ماتریس برگشت پذیر نیست.