محتوا

• مراحل
• مشاوره

اگر یک ریاضیدان یا یک برنامه نویس گرافیک هستید ، ممکن است مجبور شوید زاویه بین دو بردار داده شده را پیدا کنید. در این مقاله ، wikiHow به شما نشان می دهد که چگونه این کار را انجام دهید.

مراحل

قسمت 1 از 2: زاویه بین دو بردار را پیدا کنید

1. 

   تعریف برداری تمام اطلاعات مربوط به دو بردار خود را بنویسید. فرض کنید شما فقط پارامترهای مشخص شده مختصات بعدی آنها را دارید (اجزای مختلف نیز نامیده می شوند). اگر از قبل (اندازه) یک بردار را می دانید ، می توانید برخی از مراحل زیر را نادیده بگیرید.
   • مثال: بردار دو بعدی = (2،2) و بردار دو بعدی = (0،3). همچنین می توان آنها را به صورت = 2 نوشتمن + 2ج و = 0من + 3ج = 3ج.
   • اگرچه در مثال این مقاله از بردارهای دو بعدی استفاده شده است ، اما دستورالعمل های زیر می توانند در مورد بردارهایی با هر تعداد ابعادی استفاده شوند.

2. 

   
   
   فرمول کسینوس را بنویسید. برای یافتن زاویه θ بین دو بردار ، با فرمول پیدا کردن کسینوس برای آن زاویه شروع می کنیم. می توانید در زیر با این فرمول آشنا شوید ، یا فقط آنرا اینگونه بنویسید:
   • cosθ = (•) / (|||| ||||)
   • |||| به معنی "طول بردار" است.
   • • محصول اسکالر دو بردار است - در زیر توضیح داده خواهد شد.

3. 

   
   
   طول هر بردار را محاسبه کنید. تصور کنید مثلث قائم الزاویه از اجزای x ، y بردار و خود بردار تشکیل شده است. بردار هیپوتنوز مثلث را تشکیل می دهد ، بنابراین برای یافتن طول آن از قضیه فیثاغورث استفاده می کنیم. در واقع ، این فرمول را می توان به راحتی به بردار با هر تعداد ابعادی گسترش داد.
   • || تو || = تو₁ + تو₂. اگر بردار بیش از دو عنصر دارد ، فقط باید + u را اضافه کنید₃ + تو₄ +...
   • از این رو ، برای یک بردار دو بعدی ، || تو || = √ (تو₁ + تو₂).
   • در این مثال ، |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   محصول اسکالر دو بردار را محاسبه کنید. شاید شما روش ضرب برداری را یاد گرفته باشید که به آن معروف است اسکالر این. برای محاسبه محصول اسکالر نسبت به ترکیب آنها ، مواد را در هر جهت با هم ضرب کنید ، سپس کل نتیجه را جمع کنید.
   • برای برنامه گرافیکی ، لطفاً قبل از مطالعه بیشتر به نکات مراجعه کنید.
   • در ریاضی • = تو₁v₁ + تو₂v₂، کجا ، تو = (تو₁، تو₂) اگر بردار بیش از دو عنصر دارد ، به سادگی + u را اضافه کنید₃v₃ + تو₄v₄...
   • در این مثال ، • = u₁v₁ + تو₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. این محصول مقیاس بردار و بردار است.

5. 

   نتایج بدست آمده را در فرمول قرار دهید. به یاد داشته باشید که cosθ = (•) / (|||| || ||). اکنون هم محصول اسکالر و هم طول هر بردار را می دانیم. اینها را برای محاسبه کسینوس کسر از زاویه وارد کنید.
   • در مثال ما ، cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.

6. 

   زاویه را بر اساس کسینوس آن پیدا کنید. می توانید از تابع arccos یا cos در یک ماشین حساب برای یافتن θ از یک مقدار cos شناخته شده استفاده کنید. با برخی نتایج ، ممکن است زاویه را بر اساس دایره واحد پیدا کنید.
   • در مثال ، cosθ = √2 / 2 "arccos (√2 ​​/ 2)" را در ماشین حساب خود وارد کنید تا زاویه را پیدا کنید. یا می توانید زاویه θ را روی دایره واحد ، در موقعیت cosθ = √2 / 2 پیدا کنید. این برای درست است θ = /₄ یا 45º.
   • با ترکیب همه چیز ، فرمول نهایی این است: زاویه θ = آرکوزین ((•) / (|||| || ||))
   تبلیغات

قسمت 2 از 2: تعیین فرمول زاویه

1. 

   هدف فرمول را بفهمید. این فرمول از قوانین موجود مشتق نشده است. در عوض ، به عنوان تعریف محصول اسکالر و زاویه بین دو بردار تشکیل می شود. حتی در این صورت ، این یک تصمیم خودسرانه نبود. با بازگشت به هندسه اساسی ، می فهمیم که چرا این فرمول تعاریف بصری و مفیدی ارائه می دهد.
   • مثالهای زیر از بردارهای دو بعدی استفاده می کنند زیرا درک آنها ساده ترین و ساده ترین آنهاست. بردارهای سه بعدی یا بیشتر دارای خصوصیاتی هستند که با فرمولهای کلی تقریباً مشابهی تعریف می شوند.

2. 

   قضیه کسینوس را مرور کنید. یک مثلث معمولی را در نظر بگیرید که دارای زاویه θ بین اضلاع a و b باشد ، ضلع مقابل c. قضیه کسینوس بیان می کند که c = a + b -2abکوس(θ) این نتیجه کاملاً ساده از هندسه اساسی گرفته شده است.

3. 

   دو بردار را به هم متصل کنید ، یک مثلث تشکیل دهید. یک جفت بردار دو بعدی بر روی کاغذ ، بردار و بردار بکشید که θ زاویه بین آنها باشد. بردار سوم را بین این دو رسم کنید تا مثلث ایجاد شود. به عبارت دیگر ، یک بردار رسم کنید به طوری که + =. بردار = -.

4. 

   قضیه کسینوس را برای این مثلث بنویسید. طول ضلع "مثلث برداری" ما را در قضیه کسینوس جایگزین کنید:
   • || (a - b) || = || a || + || ب || - 2 || a || || ب ||کوس(θ)

5. 

   بازنویسی با محصول اسکالر. به یاد داشته باشید ، یک محصول اسکالر تصویر یک بردار روی دیگری است. محصول اسکالر بردار با خودش نیازی به فرافکنی ندارد ، زیرا در اینجا ، هیچ تفاوتی در جهت وجود ندارد. یعنی • = || a || با استفاده از این ، ما معادله را دوباره می نویسیم:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || a || || ب ||کوس(θ)

6. 

   فرمول مشابه را با موفقیت بازنویسی کرد. سمت چپ فرمول را گسترش دهید ، سپس برای دستیابی به زاویه از فرمول استفاده کنید.
   • • - • - • + • = • + • - 2 || a || || ب ||کوس(θ)
   • - • - • = -2 || a || || ب ||کوس(θ)
   • -2 (•) = -2 || a || || ب ||کوس(θ)
   • • = || a || || ب ||کوس(θ)
   تبلیغات

مشاوره

• برای تغییر مقادیر و حل سریع مسئله ، از این فرمول برای هر جفت بردار دو بعدی استفاده کنید: cosθ = (u₁ • v₁ + تو₂ • v₂) / (√ (تو₁ • تو₂) • √ (v₁ • v₂)).
• اگر با نرم افزار گرافیک رایانه ای کار می کنید ، این احتمال وجود دارد که فقط نگران نباشید در مورد طول بردارها. برای کوتاه کردن یک معادله و سرعت بخشیدن به برنامه خود از مراحل زیر استفاده کنید:
  • هر بردار را عادی کنید تا برابر 1 شود. برای این کار ، هر یک از اجزای بردار را بر طول آن تقسیم کنید.
  • محصول نرمال اسکالر را به جای بردار اصلی دریافت کنید.
  • از آنجا که طول 1 است ، می توانیم عناصر طول را از معادله حذف کنیم. سرانجام ، معادله زاویه به دست آمده arccos (•) است.
• بر اساس فرمول کسینوس ، می توانیم به سرعت حاد یا مبهم بودن زاویه را تشخیص دهیم. با cosθ = (•) / (|||| ||||) شروع کنید:
  • دو طرف چپ و راست معادله باید علامت یکسانی داشته باشند (مثبت یا منفی).
  • از آنجا که طول همیشه مثبت است ، cosθ باید همان علامت محصول اسکالر را داشته باشد.
  • بنابراین ، اگر محصول مثبت باشد ، cosθ نیز مثبت است. ما در ربع اول دایره واحد قرار داریم ، با θ <π / 2 یا 90º. زاویه پیدا کردن ، زاویه تیز است.
  • اگر محصول اسکالر منفی باشد ، cosθ منفی است. ما در ربع دوم دایره واحد هستیم ، با π / 2 <θ ≤ π یا 90º <θ ≤ 180º. آن گوشه زندان است.