نحوه رسم نمودار معادله درجه دوم

ویدیو: The method of solving the quadratic equation روش حل معادله درجه دوم

محتوا

مراحل
نکات

نمودار یک معادله درجه دوم شکل ax + bx + c یا a (x - h) + k یک سهمی (منحنی U شکل) است. برای رسم چنین معادله ای ، باید راس parabola ، جهت و نقاط تلاقی آن را با محورهای X و Y پیدا کنید. اگر معادله درجه دوم نسبتاً ساده ای به شما داده شود ، می توانید مقادیر مختلف "x" را جایگزین کنید. "در آن ، مقادیر مربوط به" y "را پیدا کرده و یک نمودار بسازید ...

مراحل

1 معادله درجه دوم را می توان به صورت استاندارد و به صورت غیر استاندارد نوشت. برای رسم یک معادله درجه دوم می توانید از هر نوع معادله استفاده کنید (روش ترسیم کمی متفاوت است). به عنوان یک قاعده ، در مسائل ، معادلات درجه دوم به صورت استاندارد ارائه می شود ، اما این مقاله در مورد هر دو نوع نوشتن معادله درجه دوم به شما می گوید.
- فرم استاندارد: f (x) = ax + bx + c ، جایی که a ، b ، c اعداد واقعی و a ≠ 0 هستند.
  - به عنوان مثال ، دو معادله از شکل استاندارد: f (x) = x + 2x + 1 و f (x) = 9x + 10x -8.
- فرم غیر استاندارد: f (x) = a (x - h) + k ، جایی که a ، h ، k اعداد واقعی و a ≠ 0 هستند.
  - به عنوان مثال ، دو معادله از یک شکل غیر استاندارد: f (x) = 9 (x - 4) + 18 و -3 (x - 5) + 1.
- برای رسم معادله درجه دوم از هر نوع ، ابتدا باید راس پارابولا را پیدا کنید که مختصات آن (h ، k) است. مختصات راس سهمی در معادلات فرم استاندارد با فرمول ها محاسبه می شود: h = -b / 2a و k = f (h) ؛ مختصات راس سهمی در معادلات یک شکل غیر استاندارد را می توان مستقیماً از معادلات بدست آورد.
2 برای رسم نمودار ، باید مقادیر عددی ضرایب a، b، c (یا a، h، k) را بیابید. در اکثر مسائل ، معادلات درجه دوم با مقادیر عددی ضرایب داده می شود.
- به عنوان مثال ، در معادله استاندارد f (x) = 2x + 16x + 39 a = 2 ، b = 16 ، c = 39.
- به عنوان مثال ، در یک معادله غیر استاندارد f (x) = 4 (x - 5) + 12 ، a = 4 ، h = 5 ، k = 12.
3 h را در معادله استاندارد (در حالت غیر استاندارد که قبلاً داده شده است) با استفاده از فرمول محاسبه کنید: h = -b / 2a
- در مثال معادله استاندارد ما ، f (x) = 2x + 16x + 39h = -b / 2a = -16/2 (2) = -4.
- در مثال ما از یک معادله غیر استاندارد ، f (x) = 4 (x - 5) + 12 ساعت = 5.
4 k را در معادله استاندارد محاسبه کنید (در غیر استاندارد قبلاً داده شده است). به یاد داشته باشید که k = f (h) ، یعنی می توانید با جایگزینی مقدار یافت شده h به جای "x" در معادله اصلی ، k را بیابید.
- شما دریافتید که h = -4 (برای معادله استاندارد). برای محاسبه k ، این مقدار را با "x" جایگزین کنید:
  - k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.
  - k = 2 (16) - 64 + 39.
  - k = 32 - 64 + 39 = 7
- در یک معادله غیر استاندارد ، k = 12.
5 یک راس با مختصات (h ، k) در صفحه مختصات رسم کنید. h در امتداد محور X و k در امتداد محور Y رسم می شود. بالای یک سهمی یا پایین ترین نقطه است (در صورتی که سهمیه رو به بالا باشد) یا بالاترین نقطه (اگر سهمی به سمت پایین باشد).
- در مثال معادله استاندارد ما ، راس دارای مختصات (-4 ، 7) است. این نقطه را در صفحه مختصات رسم کنید.
- در مثال ما از یک معادله سفارشی ، راس مختصات دارد (5 ، 12). این نقطه را در صفحه مختصات رسم کنید.
6 محور تقارن سهمی را ترسیم کنید (اختیاری). محور تقارن به موازات محور Y از راس سهمی عبور می کند (یعنی کاملاً عمودی). محور تقارن ، سهمی را به نصف تقسیم می کند (یعنی این سهمی در این محور به صورت آینه متقارن است).
- در معادله نمونه ما ، محور تقارن یک خط مستقیم موازی با محور Y است و از نقطه عبور می کند (-4 ، 7). اگرچه این خط بخشی از خود Parabola نیست ، اما تصوری از تقارن Parabola ارائه می دهد.
7 جهت سهمی را تعیین کنید - بالا یا پایین. انجام این کار خیلی آسان است.اگر ضریب "a" مثبت باشد ، آن سهمی به سمت بالا و اگر ضریب "a" منفی باشد ، آن سهمی به سمت پایین هدایت می شود.
- در مثال ما از معادله استاندارد ، f (x) = 2x + 16x + 39 ، سهمی به سمت بالا اشاره می کند ، زیرا a = 2 (ضریب مثبت).
- در مثال ما از معادله غیر استاندارد f (x) = 4 (x - 5) + 12 ، سهمیه نیز به سمت بالا هدایت می شود ، زیرا a = 4 (ضریب مثبت).
8 در صورت لزوم ، محل رهگیری x را پیدا کرده و رسم کنید. این نکات هنگام کشیدن سهمی به شما کمک زیادی می کند. می تواند دو ، یک یا هیچ وجود داشته باشد (اگر سهمی به بالا هدایت شود و راس آن بالای محور X قرار داشته باشد ، یا اگر سهمی به پایین باشد و راس آن در زیر محور X قرار گیرد). برای محاسبه مختصات نقاط تقاطع با محور X ، موارد زیر را انجام دهید:
- معادله را صفر قرار دهید: f (x) = 0 و آن را حل کنید. این روش با معادلات درجه دوم ساده (به ویژه معیارهای غیر استاندارد) کار می کند ، اما برای معادلات پیچیده بسیار دشوار است. در مثال ما:
  - f (x) = 4 (x - 12) - 4
  - 0 = 4 (x - 12) - 4
  - 4 = 4 (x - 12)
  - 1 = (x - 12)
  - √1 = (x - 12)
  - +/- 1 = x -12. نقاط تقاطع سهمی با محور X دارای مختصات (11،0) و (13،0) است.
- معادله درجه دوم فرم استاندارد را در نظر بگیرید: ax + bx + c = (dx + e) (fx + g) ، جایی که dx × fx = ax ، (dx × g + fx × e) = bx ، e × g = ج سپس هر دو جمله ای را روی 0 قرار دهید و مقادیر "x" را بیابید. مثلا:
  - x + 2x + 1
  - = (x + 1) (x + 1)
  - در این مورد ، یک نقطه واحد از تقاطع سهمی با محور x با مختصات (-1،0) وجود دارد ، زیرا در x + 1 = 0 x = -1.
- اگر نمی توانید معادله را فاکتور بگیرید ، آن را با استفاده از فرمول درجه دوم حل کنید: x = (-b +/- √ (b- 4ac)) / 2a.
  - به عنوان مثال: -5x + 1x + 10.
  - x = (-1 +/- √ (1-4 (-5) (10))) / 2 (-5)
  - x = (-1 +/- √ (1 + 200)) /- 10
  - x = (-1 +/- √ (201)) /- 10
  - x = (-1 +/- 14.18) /- 10
  - x = (13.18 / -10) و (-15.18 / -10). نقاط تقاطع سهمی با محور X دارای مختصات (-1،318،0) و (1،518،0) است.
  - در مثال ما ، معادلات فرم استاندارد 2x + 16x + 39:
  - x = (-16 +/- √ (16- 4 (2) (39))) / 2 (2)
  - x = (-16 +/- √ (256- 312)) / 4
  - x = (-16 +/- √ (-56) /- 10
  - از آنجا که استخراج ریشه مربع از یک عدد منفی غیرممکن است ، در این حالت parabola محور X را قطع نمی کند.
9 در صورت لزوم ، رهگیری y را تعیین و ترسیم کنید. بسیار آسان است - x = 0 را به معادله اصلی وصل کنید و مقدار "y" را پیدا کنید. قطع Y همیشه یکسان است. توجه: در معادلات فرم استاندارد ، نقطه تقاطع مختصات (0 ، ثانیه) دارد.
- به عنوان مثال ، سهمی از معادله درجه دوم 2x + 16x + 39 با محور Y در نقطه با مختصات (0 ، 39) قطع می شود ، زیرا c = 39. اما این را می توان محاسبه کرد:
  - f (x) = 2x + 16x + 39
  - f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39
  - f (x) = 39 ، یعنی سهمی این معادله درجه دوم محور Y را در نقطه با مختصات قطع می کند (0 ، 39).
- در مثال ما از معادله غیر استاندارد 4 (x-5) + 12 ، قطع y به صورت زیر محاسبه می شود:
  - f (x) = 4 (x - 5) + 12
  - f (x) = 4 (0 - 5) + 12
  - f (x) = 4 (-5) + 12
  - f (x) = 4 (25) + 12
  - f (x) = 112 ، یعنی سهمی از این معادله درجه دوم محور Y را در نقطه با مختصات قطع می کند (0 ، 112).
10 شما راس parabola ، جهت آن و نقاط تقاطع با محورهای X و Y را یافته اید (و رسم کرده اید). شما می توانید پارابولا را از این نقاط بسازید یا نقاط اضافی را پیدا کرده و ترسیم کنید و تنها پس از آن یک سهمی بسازید. برای انجام این کار ، چندین مقدار x (در دو طرف راس) را به معادله اصلی وصل کنید تا مقادیر y مربوطه را محاسبه کنید.
- به معادله x + 2x + 1 بازگردیم. شما قبلاً می دانید که نقطه تقاطع نمودار این معادله با محور X نقطه مختصات (-1،0) است. اگر Parabola فقط یک نقطه تقاطع با محور X داشته باشد ، این نقطه راس parabola است که بر روی محور X قرار دارد. در این حالت ، یک نقطه برای ساخت یک Parabola معمولی کافی نیست. بنابراین چند امتیاز اضافی پیدا کنید.
  - فرض کنید x = 0 ، x = 1 ، x = -2 ، x = -3.
  - x = 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. مختصات نقطه: (0,1).
  - x = 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. مختصات نقطه: (1,4).
  - x = -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. مختصات نقطه: (-2,1).
  - x = -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. مختصات نقطه: (-3,4).
  - این نقاط را در صفحه مختصات رسم کرده و یک سهمی (رسم نقاط با منحنی U) بکشید. لطفاً توجه داشته باشید که parabola کاملاً متقارن است - هر نقطه ای از یک شاخه از parabola را می توان در شاخه دیگر parabola (نسبت به محور تقارن) آینه کرد. این باعث صرفه جویی در وقت شما می شود ، زیرا نیازی به محاسبه مختصات نقاط هر دو شاخه parabola ندارید.

نکات

اعداد کسری را جمع کنید (اگر این نیاز معلم است) - اینگونه است که شما می توانید یک سهمی درست را بسازید.
اگر در f (x) = ax + bx + c ضرایب b یا c برابر صفر باشند ، در این معادله اصطلاحاتی با این ضرایب وجود ندارد.به عنوان مثال ، 12x + 0x + 6 تبدیل 12x + 6 می شود زیرا 0x 0 است.