محتوا

• مراحل
• قسمت 1 از 2: اصول اولیه
• قسمت 2 از 2: تبدیل ماتریس گسترده برای حل SLAE ها
• نکات

سیستم معادلات مجموعه ای از دو یا چند معادله است که دارای مجموعه ای ناشناخته مشترک و بنابراین ، یک راه حل مشترک هستند. نمودار سیستم معادلات خطی دو خط مستقیم است و راه حل سیستم نقطه تلاقی این خطوط مستقیم است. برای حل چنین سیستمهای معادلات خطی ، استفاده از ماتریس مفید و مناسب است.

مراحل

قسمت 1 از 2: اصول اولیه

1. 1 واژه شناسی. سیستم های معادلات خطی از اجزای مختلف تشکیل شده است. یک متغیر با یک کاراکتر الفبایی (معمولاً x یا y) نشان داده می شود و به معنی عددی است که شما هنوز نمی دانید و باید آن را پیدا کنید. ثابت یک عدد معین است که مقدار آن را تغییر نمی دهد.ضریب عددی است که در مقابل متغیر قرار دارد ، یعنی عددی که متغیر با آن ضرب می شود.
   • به عنوان مثال ، برای یک معادله خطی ، 2x + 4y = 8 ، x و y متغیر ، 8 ثابت و اعداد 2 و 4 ضریب هستند.
2. 2 فرم برای سیستم معادلات خطی. سیستم معادلات جبری خطی (SLAE) با دو متغیر را می توان به شرح زیر نوشت: ax + by = p ، cx + dy = q. هر ثابت (p ، q) می تواند صفر باشد ، اما هر یک از معادلات باید حداقل دارای یک متغیر (x ، y) باشد.
3. 3 عبارات ماتریسی هر SLAE را می توان به شکل ماتریس نوشت و سپس با استفاده از خواص جبری ماتریس ها ، آن را حل کرد. هنگام نوشتن یک سیستم معادلات به شکل ماتریس ، A نشان دهنده ضرایب ماتریس ، C نشان دهنده ماتریس های ثابت و X نشان دهنده یک ماتریس ناشناخته است.
   • به عنوان مثال ، SLAE فوق را می توان به شکل ماتریس زیر بازنویسی کرد: A x X = C.
4. 4 ماتریس گسترده شده ماتریس توسعه یافته با انتقال ماتریس اصطلاحات آزاد (ثابت) به سمت چپ بدست می آید. اگر دو ماتریس A و C دارید ، ماتریس منبسط شده به شکل زیر خواهد بود:
   • برای مثال ، برای سیستم معادلات خطی زیر:
     2x + 4y = 8
     x + y = 2
     ماتریس منبسط شده 2x3 خواهد بود و شبیه این است:

قسمت 2 از 2: تبدیل ماتریس گسترده برای حل SLAE ها

1. 1 عملیات ابتدایی شما می توانید عملیات خاصی را روی یک ماتریس انجام دهید ، بنابراین ماتریسی معادل اصل بدست آورید. به چنین عملیات ابتدایی می گویند. به عنوان مثال ، برای حل ماتریس 2x3 ، باید عملیات ردیف را انجام دهید تا ماتریس به شکل مثلثی برسد. چنین عملیات می تواند باشد:
   • جایگزینی دو خط
   • ضرب یک رشته در یک عدد غیر صفر
   • یک رشته را ضرب کرده و به رشته دیگری اضافه کنید.
2. 2 ضرب خط دوم در عدد غیر صفر. اگر می خواهید در خط دوم صفر باشد ، می توانید خط را ضرب کنید تا امکان پذیر شود.
   • به عنوان مثال ، اگر ماتریسی به این شکل دارید:
     
     
     می توانید خط اول را نگه دارید و با استفاده از آن صفر را در خط دوم بدست آورید. برای انجام این کار ، ابتدا باید خط دوم را در 2 ضرب کنید:
3. 3 دوباره ضرب کنید. برای به دست آوردن صفر برای ردیف اول ، ممکن است لازم باشد دوباره با استفاده از دستکاری های مشابه ضرب کنید.
   • در مثال بالا ، باید خط دوم را در -1 ضرب کنید:
     
     
     پس از ضرب ، ماتریس به شکل زیر خواهد بود:
4. 4 خط اول را به خط دوم اضافه کنید. سطرها را اضافه کنید تا صفر به جای ستون اول و ردیف دوم به دست آید.
   • در مثال ما ، هر دو خط را اضافه کنید تا به موارد زیر برسید:
5. 5 یک سیستم جدید از معادلات خطی برای ماتریس مثلثی بنویسید. هنگامی که ماتریس مثلثی را بدست آوردید ، می توانید به SLAE برگردید. ستون اول ماتریس مربوط به متغیر ناشناخته x و ستون دوم مربوط به متغیر ناشناخته y است. ستون سوم مربوط به قطع رابطه است.
   • برای مثال ما ، سیستم جدید معادلات خطی به شکل زیر ظاهر می شود:
6. 6 معادله یکی از متغیرها را حل کنید. در SLAE جدید ، تعیین کنید که کدام متغیر برای پیدا کردن آسان تر است و معادله را حل کنید.
   • در مثال ما ، راحت تر است از انتها ، یعنی از آخرین معادله به اولین ، از پایین به بالا حل شود. از معادله دوم ، ما به راحتی می توانیم یک راه حل برای y پیدا کنیم ، زیرا x را از بین بردیم ، بنابراین y = 2.
7. 7 دومین ناشناخته را با روش جایگزینی پیدا کنید. هنگامی که یکی از متغیرها را پیدا کردید ، می توانید آن را به معادله دوم وصل کنید تا متغیر دوم را بیابید.
   • در مثال ما ، فقط y را با 2 در معادله اول جایگزین کنید تا x ناشناخته را پیدا کنید:

نکات

• عناصر ماتریسی معمولاً مقیاس پذیر نامیده می شوند.
• برای حل ماتریس 2x3 ، باید عملیات سطر ابتدایی را انجام دهید. شما نمی توانید این عملیات را روی ستون ها انجام دهید.