محتوا

• گام برداشتن
• روش 1 از 3: استفاده از روش جایگزینی
• روش 2 از 3: با استفاده از روش حذف
• روش 3 از 3: معادلات را نمودار کنید
• نکات
• هشدارها

در "سیستم معادلات" از شما خواسته می شود که همزمان دو یا چند معادله را حل کنید. وقتی این دو متغیر متفاوتی دارند ، مانند x و y ، یا a و b ، در نگاه اول می توان دشوار بود که نحوه حل آنها را ببینید. خوشبختانه ، به محض اینکه بدانید چه کاری باید انجام دهید ، برای حل مسئله فقط به برخی از مهارتهای اساسی ریاضی (و گاهی اوقات برخی از دانش کسری) نیاز دارید. در صورت نیاز ، یا اگر دانشجوی تجسمی هستید ، یاد بگیرید که چگونه معادلات را نیز نمودار کنید. رسم نمودار (رسم) یک نمودار می تواند برای "دیدن اینکه چه اتفاقی می افتد" یا برای بررسی کار شما مفید باشد ، اما همچنین می تواند کندتر از سایر روش ها باشد و با تمام سیستم های معادله کار نمی کند.

گام برداشتن

روش 1 از 3: استفاده از روش جایگزینی

1. متغیرها را به طرفهای مختلف معادله منتقل کنید. این روش "جایگزینی" با "حل برای x" (یا هر متغیر دیگر) در یکی از معادلات آغاز می شود. به عنوان مثال ، ما معادلات زیر را داریم: 4x + 2y = 8 و 5x + 3x = 9. اول از همه ، ما به مقایسه اول نگاه می کنیم. با کم کردن 2y از هر طرف ، ترتیب مجدد دهید و بدست می آورید: 4x = 8-2y.
   • این روش اغلب در مراحل بعدی از کسر استفاده می کند. اگر ترجیح می دهید با کسر کار نکنید ، می توانید از روش حذف زیر استفاده کنید.
2. هر دو طرف معادله را تقسیم کنید تا برای "x" حل شود. هنگامی که اصطلاح x (یا هر متغیری را که استفاده می کنید) در یک طرف معادله قرار دادید ، هر دو طرف معادله را تقسیم کنید تا متغیر جدا شود. برای مثال:
   • 4x = 8-2y
   • (4x) / 4 = (8/4) - (2y / 4)
   • x = 2 - همان
3. دوباره این مورد را به معادله دیگر وصل کنید. اطمینان حاصل کنید که به دیگران مقایسه ، نه آن که قبلاً استفاده کرده اید. در آن معادله ، شما متغیری را که حل کرده اید جایگزین می کنید ، فقط یک متغیر باقی می ماند. برای مثال:
   • شما اکنون می دانید که: x = 2 - ½y.
   • معادله دوم ، که هنوز تغییر نکرده اید ، این است: 5x + 3x = 9.
   • در معادله دوم ، x را با "2 - ½y" جایگزین کنید: 5 (2 - ½y) + 3y = 9.
4. برای متغیر باقیمانده حل کنید. شما اکنون فقط با یک متغیر معادله ای دارید. برای حل آن متغیر از تکنیک های جبر رایج استفاده کنید. اگر متغیرها یکدیگر را لغو کردند ، به آخرین مرحله بروید. در غیر این صورت ، در پایان با جواب یکی از متغیرهای خود مواجه خواهید شد:
   • 5 (2 - ½y) + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (اگر این مرحله را نمی فهمید ، یاد بگیرید که چگونه کسری اضافه کنید. این اغلب ، اما نه همیشه ، با این روش ضروری است).
   • 10 + ½y = 9
   • ½y = -1
   • y = -2
5. برای حل متغیر دیگر از جواب استفاده کنید. اشتباه نکنید که مشکل را از نیمه تمام کنید. شما باید پاسخی که در یکی از معادلات اصلی گرفتید را دوباره وارد کنید تا بتوانید برای متغیر دیگر حل کنید:
   • شما اکنون می دانید که: y = -2
   • یکی از معادلات اصلی این است: 4x + 2y = 8. (برای این مرحله می توان از هر دو معادله استفاده کرد).
   • -2 را به جای y اضافه کنید: 4x + 2 (-2) = 8.
   • 4 برابر - 4 = 8
   • 4 برابر = 12
   • x = 3
6. بدانید در صورت لغو هر دو متغیر ، چه کاری باید انجام دهید. وقتی تو x = 3y + 2 یا در معادله دیگر پاسخی مشابه دریافت کنید ، سعی دارید فقط با یک متغیر یک معادله بدست آورید. بعضی اوقات در عوض با یک معادله روبرو می شوید بدون متغیرها کار خود را دو بار بررسی کنید و مطمئن شوید که معادله اول (تنظیم مجدد) را در معادله دوم و نه معادله اول جایگزین کنید. اگر مطمئن هستید که اشتباهی مرتکب نشده اید ، یکی از نتایج زیر را خواهید گرفت:
   • اگر در نهایت با یک معادله بدون متغیر روبرو شدید و درست نیست (به عنوان مثال 3 = 5) ، پس مشکل دارید بدون راه حل. (اگر معادلات را نمودار کرده باشید ، می بینید که آنها موازی هستند و هرگز با هم تلاقی ندارند).
   • اگر در نهایت با یک معادله بدون متغیر روبرو شوید ، اما این موارد خوب درست است (به عنوان مثال 3 = 3) ، پس این مشکل را دارد تعداد بی نهایت راه حل. این دو معادله دقیقاً برابر هستند. (اگر دو معادله را نمودار کنید ، می بینید که دقیقاً با هم همپوشانی دارند).

روش 2 از 3: با استفاده از روش حذف

1. متغیری را که باید حذف شود تعیین می کند. بعضی اوقات معادلات به محض جمع کردن یکدیگر در یک متغیر "از بین می روند". مثلاً وقتی معادلات را انجام می دهید 3x + 2y = 11 و 5x - 2y = 13 ترکیب می کند ، "+ 2y" و "-2y" با تمام "y" یکدیگر را لغو می کنندs از معادله حذف می شوند. به معادلات موجود در مسئله خود نگاه کنید تا دریابید که آیا هر یک از متغیرها از این طریق حذف می شوند. اگر هیچ یک از متغیرها حذف نشده اند ، برای مشاوره در مرحله بعد بخوانید.
2. برای لغو یک متغیر یک معادله را ضرب کنید. (اگر متغیرها یکدیگر را حذف کرده اند از این مرحله صرف نظر کنید). اگر هیچ یک از متغیرهای معادلات به خودی خود لغو نشوند ، پس باید یکی از معادلات را تغییر دهید تا انجام شود. درک این مثال با یک مثال ساده است:
   • فرض کنید سیستم معادلات را دارید 3x - y = 3 و -x + 2y = 4.
   • بیایید معادله اول را تغییر دهیم تا متغیر باشد y حذف می شود (می توانید این کار را برای ایکس انجام دهید و همان جواب را بگیرید).
   • - y " از اولین معادله باید با حذف شود + 2 سال در معادله دوم. ما می توانیم این کار را توسط - بله ضرب در 2.
   • ما هر دو طرف معادله اول را در 2 ضرب می کنیم ، به شرح زیر: 2 (3x - y) = 2 (3)، و بنابراین 6x - 2y = 6. حالا خواهد شد - 2 سال سقوط در برابر + 2 سال در معادله دوم
3. دو معادله را با هم ترکیب کنید. برای اینکه بتوانید دو معادله را ترکیب کنید ، ضلع های چپ و راست را با هم جمع کنید. اگر معادله را به درستی نوشته باشید ، یکی از متغیرها باید در مقابل دیگری لغو شود. در اینجا مثالی با استفاده از همان معادلات مرحله آخر آورده شده است:
   • معادلات شما عبارتند از: 6x - 2y = 6 و -x + 2y = 4.
   • دو طرف چپ را ترکیب کنید: 6x - 2y - x + 2y =؟
   • اضلاع سمت راست را ترکیب کنید: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
4. برای آخرین متغیر حل کنید. معادله ترکیبی را ساده کنید و سپس از جبر اساسی برای حل آخرین متغیر استفاده کنید. اگر بعد از ساده سازی متغیری باقی نماند ، تا آخرین مرحله در این بخش ادامه دهید. در غیر این صورت ، شما باید با یک پاسخ ساده به یکی از متغیرهای خود پایان دهید. برای مثال:
   • شما دارید: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
   • متغیرها را گروه بندی کنید ایکس و y با همدیگر: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
   • ساده کردن: 5 برابر = 10
   • برای x حل کنید: (5 برابر) / 5 = 10/5، به طوری که x = 2.
5. برای متغیرهای دیگر حل کنید. شما یک متغیر پیدا کرده اید ، اما هنوز کاملاً کامل نشده اید. پاسخ خود را در یکی از معادلات اصلی جایگزین کنید تا بتوانید برای متغیر دیگر حل کنید. برای مثال:
   • تو می دانی که x = 2، و آن یکی از معادلات اصلی شماست 3x - y = 3 است.
   • به جای x 2 وصل کنید: 3 (2) - y = 3.
   • y را در معادله حل کنید: 6 - y = 3
   • 6 - y + y = 3 + y، بنابراین 6 = 3 + سال
   • 3 = سال
6. بدانید وقتی هر دو متغیر یکدیگر را لغو می کنند باید چه کار کنیم. گاهی اوقات ترکیب دو معادله منجر به معادله ای می شود که معنی ندارد یا به شما در حل مسئله کمک نمی کند. کار خود را از ابتدا بررسی کنید ، اما اگر اشتباه نکرده اید ، یکی از پاسخ های زیر را یادداشت کنید:
   • اگر معادله ترکیبی شما هیچ متغیری نداشته باشد و درست نباشد (مانند 7 = 2) در این صورت وجود دارد بدون راه حل که برای هر دو معادله برقرار است. (اگر هر دو معادله را نمودار کنید ، می بینید که آنها موازی هستند و هرگز با هم تلاقی ندارند).
   • اگر معادله ترکیبی شما هیچ متغیری ندارد و درست است (مانند 0 = 0) ، بنابراین وجود دارد تعداد بی نهایت راه حل. این دو معادله در واقع یکسان هستند. (اگر اینها را در نمودار قرار دهید ، می بینید که کاملاً با یکدیگر همپوشانی دارند).

روش 3 از 3: معادلات را نمودار کنید

1. فقط در صورت مشخص بودن از این روش استفاده کنید. تا زمانی که از رایانه یا ماشین حساب نمودار استفاده نمی کنید ، بسیاری از سیستم های معادلات تنها با استفاده از این روش تقریباً حل می شوند. معلم یا کتاب ریاضی شما ممکن است از شما بخواهد که از این روش استفاده کنید ، بنابراین شما احتمالاً با معادلات گرافیکی مانند خطوط آشنا هستید. همچنین می توانید از این روش برای بررسی صحت پاسخ های شما از روش های دیگر استفاده کنید.
   • ایده اصلی این است که هر دو معادله را نمودار کنید و نقطه تلاقی آنها را تعیین کنید. مقادیر x و y در این نقطه مقدار x و مقدار y را در سیستم معادلات می دهد.
2. هر دو معادله را برای y حل کنید. دو معادله را جدا نگه دارید و از جبر برای تبدیل هر معادله به شکل "y = __x + __" استفاده کنید. برای مثال:
   • اولین معادله: 2x + y = 5. تغییر این به: y = -2x + 5.
   • معادله دوم: -3x + 6y = 0. تغییر این به 6y = 3x + 0، و ساده کردن به y = ½x + 0.
   • هر دو معادله یکسان هستند، سپس کل خط به یک "نقطه تقاطع" تبدیل می شود. نوشتن: راه حل های بی نهایت.
3. یک سیستم مختصات بکشید. یک "محور y" عمودی و "محور x" افقی را روی یک صفحه کاغذ نمودار بکشید. از نقطه تلاقی خط ها شروع کنید و اعداد 1 ، 2 ، 3 ، 4 و غیره را از محور y بالا و دوباره در امتداد محور x برچسب بزنید. اعداد -1 ، -2 و ... را در امتداد محور y به سمت پایین و به سمت چپ در امتداد محور x برچسب بزنید.
   • اگر کاغذ گرافیکی ندارید ، از خط کش استفاده کنید تا مطمئن شوید که اعداد از هم فاصله دارند.
   • اگر از اعداد بزرگ یا رقم اعشار استفاده می کنید ، ممکن است لازم باشد نمودار را مقیاس بندی کنید. (به عنوان مثال 10 ، 20 ، 30 یا 0.1 ، 0.2 ، 0.3 به جای 1 ، 2 ، 3).
4. تقاطع y را برای هر خط رسم کنید. هنگامی که یک معادله در فرم دارید y = __x + __ می توانید با تنظیم نقطه ای که خط محور y را قطع می کند ، نمودار آن را شروع کنید. این همیشه با مقدار y برابر است با آخرین عدد این معادله.
   • در مثالهای ذکر شده قبلی ، یک خط (y = -2x + 5) به محور y وارد شوید 5. خط دیگر (y = ½x + 0) از نقطه صفر عبور می کند 0. (اینها نقاط (0.5) و (0.0) نمودار هستند).
   • در صورت امکان هر یک از خطوط را با رنگ متفاوت مشخص کنید.
5. برای ادامه رسم خطوط از شیب استفاده کنید. در فرم y = __x + __، عدد x th است شیب خارج از خط هر بار x یک افزایش یابد ، مقدار y با مقدار شیب افزایش می یابد. از این اطلاعات برای یافتن نقطه روی نمودار برای هر خط در زمان x = 1 استفاده کنید (در عوض ، x = 1 را برای هر معادله جایگزین کنید و y را حل کنید).
   • در مثال ما ، خط دارد y = -2x + 5 یک شیب از -2. در x = 1 خط 2 پایین می آید پایین از نقطه x = 0. قطعه خط را بین (0.5) و (1.3) رسم کنید.
   • قانون y = ½x + 0شیب دارد ½. در x = 1 ، خط می رود ½ بالا از نقطه x = 0. قطعه خط را بین (0،0) و (1 ، ½) رسم کنید.
   • وقتی خطوط شیب یکسانی دارند خطوط هرگز با هم تلاقی نخواهند کرد ، بنابراین هیچ راه حلی برای سیستم معادلات وجود ندارد. نوشتن: بدون راه حل.
6. رسم خطوط را تا زمان قطع آنها ادامه دهید. توقف کنید و به نمودار خود نگاه کنید. اگر خطوط از همدیگر عبور کرده اند ، به مرحله بعدی بروید. در غیر این صورت ، شما براساس آنچه خطوط انجام می دهند تصمیم می گیرید:
   • همانطور که خطوط به سمت یکدیگر حرکت می کنند ، شما مرتباً نقاطی را در آن جهت ترسیم می کنید.
   • اگر خطوط از یکدیگر دور می شوند ، به عقب برگردید و در جهت دیگر نقاط را رسم کنید ، از x = -1 شروع کنید.
   • اگر خطوط به جایی نزدیک به هم نیستند ، جلوتر بپرید و نقاط دورتر را ترسیم کنید ، مانند x = 10.
7. پاسخ را در تقاطع خطوط پیدا کنید. به محض تلاقی دو خط ، مقادیر x و y در آن نقطه راه حل مسئله هستند. اگر خوش شانس باشید ، پاسخ یک عدد صحیح خواهد بود. به عنوان مثال ، در مثال های ما ، این دو خط با هم تلاقی می کنند (2,1) پاسخ شما نیز چنین است x = 2 و y = 1. در برخی از سیستم های معادله ، خطوط با مقداری بین دو عدد صحیح تلاقی می کنند و تا نمودار شما بسیار دقیق نباشد ، تشخیص این که کجاست دشوار خواهد بود. اگر این مورد باشد ، می توانید پاسخی مانند این بدهید: "x بین 1 تا 2 است". برای یافتن پاسخ دقیق می توانید از روش جایگزینی یا روش حذف نیز استفاده کنید.

نکات

• با وارد کردن جوابها به معادلات اصلی ، می توانید کار خود را بررسی کنید. اگر معادلات درست باشد (به عنوان مثال 3 = 3) ، پاسخ شما درست است.
• در روش حذف ، بعضی اوقات باید معادله ای را در عدد منفی ضرب کنید تا یک متغیر حذف شود.

هشدارها

• اگر با یک عدد قدرت مانند x روبرو هستید ، این روش ها قابل استفاده نیستند. برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد معادلات این نوع ، به راهنمایی برای مجذور عامل با دو متغیر نیاز دارید.