محتوا

• مراحل
• قسمت 1 از 3: استخراج ریشه مکعب با یک مثال ساده
• قسمت 2 از 3: برآورد ریشه مکعب
• قسمت 3 از 3: توضیح فرآیند محاسبه شرح داده شده
• نکات
• هشدارها
• چه چیزی نیاز دارید

اگر ماشین حساب در دست دارید ، می توانید ریشه مکعب هر عددی را به راحتی استخراج کنید. اما اگر ماشین حساب ندارید یا می خواهید دیگران را تحت تاثیر قرار دهید ، دستی ریشه مکعب را استخراج کنید. برای اکثر مردم ، فرایند شرح داده شده در اینجا بسیار پیچیده به نظر می رسد ، اما با تمرین ، استخراج ریشه های مکعب بسیار آسان تر می شود. قبل از شروع به خواندن این مقاله ، عملیات ریاضی و محاسبات را با اعداد در یک مکعب به خاطر بسپارید.

مراحل

قسمت 1 از 3: استخراج ریشه مکعب با یک مثال ساده

1. 1 کار را بنویسید. استخراج دستی ریشه مکعب شبیه تقسیم طولانی است ، اما دارای برخی از تفاوت های ظریف است. ابتدا کار را در یک فرم خاص بنویسید.
   • عددی را که می خواهید ریشه مکعب را از آن استخراج کنید بنویسید. عدد را به گروه های سه رقمی تقسیم کنید و شمارش را با یک نقطه اعشار شروع کنید. به عنوان مثال ، شما باید ریشه مکعب 10 را استخراج کنید. عدد را به این صورت بنویسید: 10.000.000.صفرهای اضافی برای بهبود دقت نتیجه استفاده می شود.
   • کنار و بالای عدد یک علامت ریشه بکشید. تصور کنید اینها خطوط افقی و عمودی هستند که در تقسیم طولانی ترسیم می کنید. تفاوت تنها در شکل دو شخصیت است.
   • یک نقطه اعشار را بالای خط افقی قرار دهید. این کار را مستقیماً بالای نقطه اعشار عدد اصلی انجام دهید.
2. 2 نتایج مکعب صحیح را به خاطر بسپارید. آنها در محاسبات استفاده خواهند شد.
   • ${ displaystyle 1 ^ {3} = 1 * 1 * 1 = 1}$
   • ${ displaystyle 2 ^ {3} = 2 * 2 * 2 = 8}$
   • ${ displaystyle 3 ^ {3} = 3 * 3 * 3 = 27}$
   • ${ displaystyle 4 ^ {3} = 4 * 4 * 4 = 64}$
   • ${ displaystyle 5 ^ {3} = 5 * 5 * 5 = 125}$
   • ${ displaystyle 6 ^ {3} = 6 * 6 * 6 = 216}$
   • ${ displaystyle 7 ^ {3} = 7 * 7 * 7 = 343}$
   • ${ displaystyle 8 ^ {3} = 8 * 8 * 8 = 512}$
   • ${ displaystyle 9 ^ {3} = 9 * 9 * 9 = 729}$
   • ${ displaystyle 10 ^ {3} = 10 * 10 * 10 = 1000}$
3. 3 اولین رقم پاسخ را بیابید. یک مکعب صحیح را انتخاب کنید که نزدیک ترین اما کوچکتر از گروه اول سه رقمی است.
   • در مثال ما ، اولین گروه سه رقمی 10 است. بزرگترین مکعب را که کمتر از 10 است پیدا کنید. این مکعب 8 و ریشه مکعب 8 برابر 2 است.
   • در بالای خط افقی بالای عدد 10 ، عدد 2 را بنویسید و سپس مقدار عملیات را یادداشت کنید ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ = 8 زیر 10. یک خط بکشید و 8 را از 10 کم کنید (مانند تقسیم طولانی). نتیجه 2 است (این اولین بقیه است).
   • بنابراین ، شما اولین شماره پاسخ را پیدا کرده اید. در نظر بگیرید که آیا نتیجه داده شده به اندازه کافی دقیق است. در بیشتر موارد ، این پاسخ بسیار خشن خواهد بود. نتیجه را تکه تکه کنید تا بدانید چقدر به عدد اصلی نزدیک است. در مثال ما: ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ = 8 ، که بسیار نزدیک به 10 نیست ، بنابراین محاسبات باید ادامه یابد.
4. 4 رقم بعدی جواب را بیابید. گروه دوم از سه عدد را به بقیه اول اضافه کنید و یک خط عمودی در سمت چپ عدد بدست آمده بکشید. با استفاده از عدد بدست آمده ، رقم دوم پاسخ را خواهید یافت. در مثال ما ، گروه دوم سه رقمی (000) باید به باقی مانده اول (2) اضافه شود تا عدد 2000 به دست آید.
   • در سمت چپ خط عمودی ، سه عدد می نویسید که مجموع آنها برابر با عامل اول است. برای این اعداد ، فضاهای خالی بگذارید ، و علامت های مثبت را بین آنها قرار دهید.
5. 5 عبارت اول (از سه مورد) را بیابید. در اولین فاصله خالی ، حاصل ضرب 300 در مربع اولین رقم پاسخ را بنویسید (بالای علامت ریشه نوشته شده است). در مثال ما ، اولین رقم پاسخ 2 است ، بنابراین 300 * (2 ^ 2) = 300 * 4 = 1200. در اولین فاصله خالی 1200 بنویسید. عبارت اول 1200 است (به علاوه دو عدد دیگر برای یافتن).
6. 6 رقم دوم جواب را بیابید. دریابید که برای ضرب 1200 به چه عددی نیاز دارید تا نتیجه نزدیک باشد ، اما از 2000 تجاوز نکند. این عدد فقط 1 می تواند باشد ، زیرا 2 * 1200 = 2400 ، که بیشتر از 2000 است. 1 را بنویسید (رقم دوم پاسخ) بعد از 2 و کاما اعشاری بالای علامت ریشه.
7. 7 اصطلاحات دوم و سوم (از سه مورد) را بیابید. این فاکتور شامل سه عدد (عبارت) است که اولین مورد آن را قبلاً پیدا کرده اید (1200). اکنون باید دو اصطلاح باقی مانده را پیدا کنیم.
   • 3 را در 10 و در هر رقم پاسخ ضرب کنید (آنها در بالای علامت ریشه نوشته شده اند). در مثال ما: 3 * 10 * 2 * 1 = 60. این نتیجه را به 1200 اضافه کنید و 1260 را بدست آورید.
   • در نهایت ، آخرین رقم پاسخ خود را به صورت مربع قرار دهید. در مثال ما ، آخرین رقم پاسخ 1 است ، بنابراین 1 ^ 2 = 1. بنابراین اولین عامل مجموع اعداد زیر است: 1200 + 60 + 1 = 1261. این عدد را در سمت چپ نوار عمودی بنویسید به
8. 8 ضرب و تفریق. آخرین رقم پاسخ (در مثال ما 1 است) را در ضریب یافت شده (1261) ضرب کنید: 1 * 1261 = 1261. این عدد را زیر 2000 بنویسید و از سال 2000 کم کنید. 739 دریافت خواهید کرد (این دومین است بقیه)
9. 9 در نظر بگیرید که آیا پاسخی که دریافت کرده اید به اندازه کافی دقیق است. هر بار که تفریق بعدی را تکمیل می کنید این کار را انجام دهید. پس از تفریق اول ، پاسخ 2 بود ، که نتیجه دقیقی نیست. پس از تفریق دوم ، پاسخ 2.1 است.
   • برای بررسی صحت پاسخ ، آن را مکعب کنید: 2.1 * 2.1 * 2.1 = 9.261.
   • اگر فکر می کنید پاسخ به اندازه کافی دقیق است ، لازم نیست محاسبات را ادامه دهید. در غیر این صورت ، تفریق دیگری انجام دهید.
10. 10 عامل دوم را بیابید. برای تمرین محاسبات و دستیابی به نتیجه دقیق تر ، مراحل بالا را تکرار کنید.
    • گروه سوم سه رقمی (000) را به باقیمانده دوم (739) اضافه کنید. شما شماره 739000 را دریافت خواهید کرد.
    • 300 را در مربع عددی که بالای علامت ریشه (21) نوشته شده ضرب کنید: ${ displaystyle 300 * 21 ^ {2}}$ = 132300.
    • سومین رقم جواب را بیابید. دریابید که برای ضرب 132300 به چه عددی نیاز دارید تا نتیجه نزدیک باشد ، اما از 739000 تجاوز نکند. این عدد 5: 5 * 132200 = 661500 است. 5 (رقم سوم پاسخ) را بعد از 1 در بالای علامت ریشه بنویسید.
    • 3 را در 10 در 21 و در آخرین رقم پاسخ ضرب کنید (آنها در بالای علامت ریشه نوشته شده اند). در مثال ما: ${ displaystyle 3 * 21 * 5 * 10 = 3150}$.
    • در نهایت ، آخرین رقم پاسخ خود را مربع کنید. در مثال ما ، آخرین رقم پاسخ 5 است ، بنابراین ${ displaystyle 5 ^ {2} = 25.}$
    • بنابراین ، عامل دوم این است: 132300 + 3150 + 25 = 135،475
11. 11 آخرین رقم پاسخ خود را در عامل دوم ضرب کنید. پس از یافتن عامل دوم و رقم سوم پاسخ ، به شرح زیر عمل کنید:
    • آخرین رقم پاسخ را در ضریب بدست آمده ضرب کنید: 135475 * 5 = 677375.
    • تفریق: 739000 - 677375 = 61625.
    • در نظر بگیرید که آیا پاسخی که دریافت کرده اید به اندازه کافی دقیق است. برای انجام این کار ، آن را مکعب کنید: ${ displaystyle 2.15 * 2.15 * 2.15 = 9.94}$.
12. 12 پاسخ خود را بنویسید. نتیجه ای که در بالای علامت ریشه نوشته شده است ، پاسخ با دو رقم اعشار است. در مثال ما ، ریشه مکعب 10 برابر 2.15 است. پاسخ خود را با مکعب کردن آن بررسی کنید: 2.15 ^ 3 = 9.94 ، که تقریباً 10 است. اگر به دقت بیشتری نیاز دارید ، محاسبه را ادامه دهید (همانطور که در بالا توضیح داده شد).

قسمت 2 از 3: برآورد ریشه مکعب

1. 1 برای تعیین حد بالا و پایین از مکعب اعداد استفاده کنید. اگر نیاز دارید ریشه مکعب تقریباً هر عددی را استخراج کنید ، مکعب (برخی از اعداد) را که نزدیک به عدد داده شده است پیدا کنید.
   • به عنوان مثال ، شما باید ریشه مکعب 600 را استخراج کنید. از آنجا که ${ displaystyle 8 ^ {3} = 512}$ و ${ displaystyle 9 ^ {3} = 729}$، سپس ریشه مکعب 600 بین 8 تا 9 است. بنابراین ، از 512 و 729 به عنوان حد بالا و پایین پاسخ خود استفاده کنید.
2. 2 عدد دوم را تخمین بزنید. شما به لطف آگاهی از مکعب های اعداد صحیح ، اولین عدد را پیدا کردید. حالا یک عدد صحیح را با اختصاص دادن یک عدد صفر تا 9 به آن (بعد از نقطه اعشار) به کسر اعشاری تبدیل کنید. باید کسری اعشاری را پیدا کنید که مکعب آن نزدیک است ، اما کمتر از عدد اصلی است.
   • در مثال ما ، عدد 600 بین 512 تا 729 است. به عنوان مثال ، به اولین عدد (8) ، عدد 5 را اضافه کنید. عدد 8.5 را دریافت می کنید.
3. 3 عدد بدست آمده را به صورت مکعب برآورد کنید. این کار را انجام دهید تا مطمئن شوید که مکعب نزدیک است اما بزرگتر از عدد اصلی نیست.
   • در مثال ما: ${ displaystyle 8.5 * 8.5 * 8.5 = 614.1.}$
4. 4 در صورت نیاز یک عدد متفاوت را ارزیابی کنید. مکعب عدد بدست آمده را با عدد اصلی مقایسه کنید. اگر مکعب عدد بدست آمده بزرگتر از عدد اصلی است ، سعی کنید عدد کمتری را ارزیابی کنید. اگر مکعب عدد بدست آمده بسیار کوچکتر از عدد اصلی است ، اعداد بزرگ را ارزیابی کنید تا زمانی که مکعب یکی از آنها از عدد اصلی بیشتر شود.
   • در مثال ما: ${ displaystyle 8.5 ^ {3}}$ > 600. بنابراین ، عدد کوچکتر 8.4 را تخمین بزنید. این عدد را مکعب کرده و با عدد اصلی مقایسه کنید: ${ displaystyle 8.4 * 8.4 * 8.4 = 592.7}$... این نتیجه کمتر از عدد اصلی است. بنابراین ، ریشه مکعب 600 بین 8.4 تا 8.5 است.
5. 5 عدد بعدی را ارزیابی کنید تا دقت پاسخ شما افزایش یابد. برای هر عددی که آخرین رتبه را داده اید ، عددی را از 0 تا 9 اضافه کنید تا جواب دقیق را دریافت کنید. در هر دور ارزیابی ، باید محدوده بالا و پایین را پیدا کنید که بین آنها شماره اصلی است.
   • در مثال ما: ${ displaystyle 8.4 ^ {3} = 592.7}$ و ${ displaystyle 8.5 ^ {3} = 614.1}$... عدد اصلی 600 به 592 نزدیکتر از 614 است. بنابراین ، به آخرین عددی که تخمین زده اید ، رقمی را که نزدیک به 0 است نسبت به 9 اضافه کنید. به عنوان مثال ، این عدد 4 است. بنابراین عدد 8.44 را به صورت توپ در آورید.
6. 6 در صورت نیاز یک عدد متفاوت را ارزیابی کنید. مکعب عدد بدست آمده را با عدد اصلی مقایسه کنید. اگر مکعب عدد بدست آمده بزرگتر از عدد اصلی است ، سعی کنید عدد کمتری را ارزیابی کنید. به طور خلاصه ، باید دو عدد را پیدا کنید که مکعب آنها کمی بزرگتر و کمی کوچکتر از عدد اصلی است.
   • در مثال ما ${ displaystyle 8.44 * 8.44 * 8.44 = 601.2}$... این عدد کمی بزرگتر از شماره اصلی است ، بنابراین یک عدد دیگر (کوچکتر) ، به عنوان مثال 8.43 را ارزیابی کنید: ${ displaystyle 8.43 * 8.43 * 8.43 = 599.07}$... بنابراین ، ریشه مکعب 600 بین 8.43 تا 8.44 است.
7. 7 این روند را دنبال کنید تا پاسخی که برای شما رضایت بخش است دریافت کنید. عدد بعدی را ارزیابی کنید ، آن را با اصل مقایسه کنید ، در صورت لزوم یک عدد دیگر را ارزیابی کنید و غیره. توجه داشته باشید که هر رقم اضافی پس از نقطه اعشار ، دقت پاسخ شما را افزایش می دهد.
   • در مثال ما ، مکعب عدد 8.43 کمتر از عدد اصلی کمتر از 1 است. اگر به دقت بیشتری نیاز دارید ، عدد 8.434 را مکعب کنید و آن را بدست آورید. ${ displaystyle 8،434 ^ {3} = 599.93}$، یعنی نتیجه کمتر از 0.1 از عدد اصلی است.

قسمت 3 از 3: توضیح فرآیند محاسبه شرح داده شده

1. 1 سری دو جمله ای را به خاطر بسپارید. یک سری دو جمله ای نتیجه بالا بردن دو جمله ای (دو جمله ای) به قدرتی خاص ، در این مورد به یک مکعب است. برای درک الگوریتم استخراج ریشه مکعب که در اینجا شرح داده شده است ، ابتدا نحوه دو مکعبی بودن مکعب را به خاطر بسپارید. به احتمال زیاد ، شما این را در مدرسه آموخته اید (و احتمالاً به زودی فراموش کرده اید ، مانند اکثر مردم). متغیرها ${ displaystyle A}$ و ${ displaystyle B}$ چند رقمی را علامت بزنید سپس می توان عدد دو رقمی را به صورت دو جمله ای نوشت ${ displaystyle (10A + B)}$.
   • در اینجا عضو ${ displaystyle 10A}$ محل ده ها را نشان می دهد ، یعنی اگر ${ displaystyle A}$ آیا هر عدد تک رقمی است ، پس ${ displaystyle 10A}$ - این در حال حاضر شماره دو رقمی مربوطه است. به عنوان مثال ، اگر ${ displaystyle A}$ = 2 ، و ${ displaystyle B}$ = 6 ، پس ${ displaystyle (10A + B)}$ = 26 ، یعنی یک عدد دو رقمی 26 دارید.
2. 2 دو جمله ای را مکعب کنید. این کار را برای درک روند استخراج ریشه مکعب که در قسمت اول توضیح داده شده است انجام دهید. محاسبه ${ displaystyle (10A + B) ^ {3}}$ = ${ displaystyle (10A + B) * (10A + B) * (10A + B)}$ = ${ displaystyle 1000A ^ {3} + 300A ^ {2} B + 30AB ^ {2} + B ^ {3}}$ (در اینجا ما چندین مرحله از ساخت مکعب را حذف کرده ایم تا مقاله را با محاسبات به هم نریزیم).
   • توضیح مفصل را می توان در اینجا یافت.
3. 3 الگوریتم تقسیم طولانی را درک کنید. توجه داشته باشید که روش ریشه مکعبی که در اینجا توضیح داده شد بسیار شبیه تقسیم طولانی است. هنگام تقسیم بر روی یک ستون ، باید عدد (ضریب) را پیدا کنید ، وقتی در ضرب بر تقسیم کننده تقسیم می کنید ، سود تقسیم می شود. در روش توصیف شده ، از نتیجه استخراج ریشه مکعب (در بالای علامت ریشه نوشته شده است) به عنوان عامل استفاده می شود. یعنی نتیجه استخراج ریشه مکعب را می توان به صورت دو جمله ای (10A + B) نشان داد. مقادیر دقیق A و B در این مرحله مهم نیستند: فقط به یاد داشته باشید که نتیجه را می توان به صورت دو جمله ای نوشت.
4. 4 به محدوده دو جمله ای نگاه کنید. این مجموع چهار مونومال است که به لطف آنها می توانید اصل عملکرد الگوریتم استخراج ریشه مکعب را درک کنید. لطفاً توجه داشته باشید که ضریب هر مرحله از استخراج ریشه برابر با مجموع چهار عبارت است که باید محاسبه و اضافه شوند.
   • فاکتور برای عبارت اول 1000 است. برای محاسبه رقم اول پاسخ ، ابتدا مکعب یک عدد صحیح را پیدا می کنید که نزدیکترین است اما کمتر از یک عدد مشخص (یعنی اولین گروه سه رقمی) است. این قسمت 1000A ^ 3 از سری دو جمله ای را تعریف می کند.
   • ضرب ضرب دوم از سری دو جمله ای عدد 300 است (${ displaystyle 3 * 10 ^ {2}}$ = 300) به یاد بیاورید که در هر مرحله از استخراج ریشه مکعب ، رقم (های) مربوط به پاسخ در 300 ضرب می شود.
   • دومین اصطلاح در هر مرحله از استخراج ریشه توسط ترم سوم از سری دو جمله ای ، معادل 30AB ^ 2 تعیین می شود.
   • اصطلاح سوم در هر مرحله از استخراج ریشه توسط چهارمین دوره از سری دو جمله ای ، معادل B ^ 3 تعیین می شود.
5. 5 به افزایش دقت پاسخ توجه کنید. هرچه مراحل استخراج ریشه بیشتر باشد ، پاسخ دقیق تر خواهد بود. به عنوان مثال ، در این مقاله ، شما باید ریشه مکعب 10 را استخراج کنید. در مرحله اول ، پاسخ 2 است ، زیرا ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ = 8 ، که نزدیک است ، اما کمتر از 10. در مرحله دوم ، پاسخ 2.1 است ، زیرا ${ displaystyle 2.1 ^ {3} = 9.261}$، که بسیار به 10 نزدیکتر است. در مرحله سوم ، پاسخ 2.15 است ${ displaystyle 2.15 ^ {3} = 9.94}$... برای افزایش دقت پاسخ می توانید محاسبه را با استفاده از گروه های سه رقمی ادامه دهید.

نکات

• برای تسلط بر روش های توصیف شده تمرین کنید. هرچه بیشتر تمرین کنید ، سریعتر از محاسبات عبور خواهید کرد.

هشدارها

• اشتباه کردن در فرآیند محاسبه بسیار آسان است. پس حتماً جواب را بررسی کنید.

چه چیزی نیاز دارید

• قلم یا مداد
• کاغذ
• خط كش
• پاک کن