چگونه دو جمله ای را فاکتور کنیم

ویدیو: ترفند ریاضی _ طریقه فاکتورگیری از معادلات سه جمله ای و معادلاتی که بزرگترین فاکتور مشترک ندارند!

محتوا

مراحل
قسمت 1 از 3: فاکتور گیری دو جمله ای
قسمت 2 از 3: فاکتورگیری دو جمله ای برای حل معادلات
قسمت 3 از 3: حل مسائل پیچیده
نکات
هشدارها

دو جمله ای (دو جمله ای) عبارت ریاضی با دو عبارت است که بین آنها علامت مثبت یا منفی وجود دارد ، برای مثال ، ${ displaystyle ax + b}$ ... اولین عضو متغیر را شامل می شود و دومی آن را شامل می شود یا شامل نمی شود. در نظر گرفتن دو جمله ای شامل یافتن اصطلاحاتی است که در صورت ضرب ، دو جمله اصلی را برای حل یا ساده سازی آن تولید می کنند.

مراحل

قسمت 1 از 3: فاکتور گیری دو جمله ای

1 اصول فرآیند فاکتورینگ را درک کنید. هنگام در نظر گرفتن دو جمله ای ، عاملی که تقسیم کننده هر عبارت دو جمله ای اصلی است از براکت خارج می شود. به عنوان مثال ، عدد 6 کاملاً بر 1 ، 2 ، 3 ، 6. قابل تقسیم است ، بنابراین ، تقسیم کننده های عدد 6 اعداد 1 ، 2 ، 3 ، 6 هستند.
- تقسیم کنندگان 32: 1 ، 2 ، 4 ، 8 ، 16 ، 32.
- تقسیم کننده های هر عددی 1 و خود عدد است. به عنوان مثال ، تقسیم کننده های 3 1 و 3 هستند.
- تقسیم کننده های صحیح فقط می توانند صحیح باشند. عدد 32 را می توان بر 3.564 یا 21.4952 تقسیم کرد ، اما شما یک عدد صحیح نیست ، بلکه کسر اعشاری است.
2 شرایط دو جمله ای را برای سهولت فرایند فاکتورگیری سفارش دهید. دو جمله ای مجموع یا تفاوت دو عبارت است که حداقل یکی از آنها شامل یک متغیر است. گاهی اوقات متغیرها به قدرتی تبدیل می شوند ، برای مثال ، ایکس2{ displaystyle x ^ {2}} یا 5y4{ displaystyle 5y ^ {4}}... بهتر است شرایط دو جمله ای را به ترتیب صعودی نماها مرتب کنید ، یعنی اصطلاح با کوچکترین نمره ابتدا و با بزرگترین - آخرین نوشته می شود. مثلا:
- ${ displaystyle 3t + 6}$ → ${ displaystyle 6 + 3t}$
- ${ displaystyle 3x ^ {4} + 9x ^ {2}}$ → ${ displaystyle 9x ^ {2} + 3x ^ {4}}$
- ایکس2−2{ displaystyle x ^ {2} -2} → −2+ایکس2{ displaystyle -2 + x ^ {2}}
  - به علامت منفی در مقابل 2 توجه کنید اگر یک عبارت از آن کسر شود ، علامت منفی را در مقابل آن بنویسید.
3 بزرگترین تقسیم کننده مشترک (GCD) هر دو عبارت را بیابید. GCD بزرگترین عددی است که با آن هر دو عضو دو جمله ای قابل تقسیم هستند. برای انجام این کار ، تقسیم کننده های هر عبارت را در دو جمله ای پیدا کنید و سپس بزرگترین تقسیم کننده مشترک را انتخاب کنید. مثلا:
- یک وظیفه:3t+6{ displaystyle 3t + 6}.
  - تقسیم کنندگان 3: 1 ، 3
  - تقسیم کنندگان 6: 1 ، 2 ، 3 ، 6.
  - GCD = 3
4 هر عبارت را بر دو جمله ای بر بزرگترین تقسیم کننده مشترک (GCD) تقسیم کنید. این کار را انجام دهید تا GCD را از بین ببرید. توجه داشته باشید که هر یک از اعضای دو جمله ای کاهش می یابد (زیرا قابل تقسیم است) ، اما اگر GCD از پرانتز خارج شود ، عبارت نهایی برابر با عبارت اصلی خواهد بود.
- یک وظیفه: ${ displaystyle 3t + 6}$ .
- GCD را پیدا کنید: 3
- هر عبارت دو جمله ای را بر gcd تقسیم کنید: ${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
5 تقسیم کننده را از داخل پرانتز خارج کنید. قبلا ، شما هر دو عبارت دو جمله ای را بر مقسوم 3 تقسیم کرده و بدست آوردید t+2{ displaystyle t + 2}... اما نمی توانید 3 را از بین ببرید - برای اینکه مقادیر عبارتهای اولیه و نهایی برابر باشند ، باید 3 را در خارج از پرانتز قرار دهید و عبارت بدست آمده در نتیجه تقسیم را در پرانتز بنویسید. مثلا:
- یک وظیفه: ${ displaystyle 3t + 6}$ .
- GCD را پیدا کنید: 3
- هر عبارت دو جمله ای را بر gcd تقسیم کنید: ${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
- تقسیم کننده را با عبارت به دست آمده ضرب کنید: ${ displaystyle 3 (t + 2)}$
- پاسخ: ${ displaystyle 3 (t + 2)}$
6 پاسخ خود را بررسی کنید. برای انجام این کار ، عبارت قبل از براکت را در هر عبارت داخل براکت ضرب کنید. اگر دوجمله اصلی را بدست آورید ، راه حل صحیح است. حالا مشکل را حل کنید 12t+18{ displaystyle 12t + 18}:
- به اعضا سفارش دهید: ${ displaystyle 18 + 12t}$
- GCD را پیدا کنید: ${ displaystyle 6}$
- هر عبارت دو جمله ای را بر gcd تقسیم کنید: ${ displaystyle { frac {18t} {6}} + { frac {12t} {6}} = 3 + 2t}$
- تقسیم کننده را با عبارت به دست آمده ضرب کنید: ${ displaystyle 6 (3 + 2t)}$
- پاسخ را بررسی کنید: ${ displaystyle (6 * 3) + (6 * 2t) = 18 + 12t}$

قسمت 2 از 3: فاکتورگیری دو جمله ای برای حل معادلات

1 برای ساده سازی و حل معادله دو جمله ای را فاکتور بگذارید. در نگاه اول ، حل برخی معادلات (به ویژه با دو جمله ای پیچیده) غیرممکن به نظر می رسد. به عنوان مثال ، معادله را حل کنید 5y−2y2=−3y{ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}... در این معادله قدرتهایی وجود دارد ، بنابراین ابتدا عبارت را در نظر بگیرید.
- یک وظیفه: ${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
- به یاد داشته باشید که دو جمله ای دارای دو عضو است. اگر عبارت شامل اصطلاحات بیشتری است ، نحوه حل چند جمله ای را بیاموزید.
2 به هر دو طرف معادله مقداری مونومال اضافه یا تفریق کنید تا صفر در یک طرف معادله باقی بماند. در مورد فاکتورسازی ، راه حل معادلات بر این واقعیت تغییر ناپذیر استوار است که هر عبارت ضرب در صفر برابر با صفر است. بنابراین ، اگر معادله را برابر صفر قرار دهیم ، هر یک از عوامل آن باید برابر صفر باشد. یک طرف معادله را روی 0 قرار دهید.
- یک وظیفه: ${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
- روی صفر تنظیم کنید:5y−2y2+3y=−3y+3y{ displaystyle 5y -2y ^ {2} + 3y = -3y + 3y}
  - ${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
3 سطل حاصله را فاکتور بگیرید. این کار را همانطور که در قسمت قبل توضیح داده شده انجام دهید. بزرگترین عامل مشترک (GCD) را بیابید ، هر دو عبارت دو جمله ای را بر آن تقسیم کنید و سپس عامل را از داخل پرانتز خارج کنید.
- یک وظیفه: ${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
- روی صفر تنظیم کنید: ${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
- عامل: ${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
4 هر عامل را روی صفر قرار دهید. در عبارت حاصله ، 2y در 4 - y ضرب می شود و این محصول برابر با صفر است. از آنجا که هر عبارت (یا اصطلاح) ضرب در صفر صفر است ، پس 2y یا 4 - y 0 است. یک جمله و دو جمله ای حاصل را روی صفر قرار دهید تا "y" را پیدا کنید.
- یک وظیفه: ${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
- روی صفر تنظیم کنید: ${ displaystyle 8y-2y ^ {2} + 3y = 0}$
- عامل: ${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
- هر دو عامل را روی 0 تنظیم کنید:
  - ${ displaystyle 2y = 0}$
  - ${ displaystyle 4-y = 0}$
5 معادلات بدست آمده را برای یافتن پاسخ نهایی (یا پاسخ ها) حل کنید. از آنجا که هر عامل برابر با صفر است ، معادله می تواند چندین راه حل داشته باشد. در مثال ما:
- 2y=0{ displaystyle 2y = 0}
  - ${ displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {0} {2}}}$
  - y = 0
- 4−y=0{ displaystyle 4-y = 0}
  - ${ displaystyle 4-y + y = 0 + y}$
  - y = 4
6 پاسخ خود را بررسی کنید. برای انجام این کار ، مقادیر پیدا شده را در معادله اصلی جایگزین کنید. اگر برابری درست باشد ، تصمیم درست است. مقادیر پیدا شده را به جای "y" جایگزین کنید. در مثال ما ، y = 0 و y = 4:
- 5(0)−2(0)2=−3(0){ displaystyle 5 (0) -2 (0) ^ {2} = - 3 (0)}
  - ${ displaystyle 0 + 0 = 0}$
  - ${ displaystyle 0 = 0}$ این تصمیم درست است
- 5(4)−2(4)2=−3(4){ displaystyle 5 (4) -2 (4) ^ {2} = - 3 (4)}
  - ${ displaystyle 20-32 = -12}$
  - ${ displaystyle -12 = -12}$ و این تصمیم درستی است

قسمت 3 از 3: حل مسائل پیچیده

1 به یاد داشته باشید که یک عبارت با یک متغیر نیز می تواند فاکتور گرفته شود ، حتی اگر متغیر به توان برسد. هنگام فاکتورگیری ، باید یک جمله ای را پیدا کنید که هر یک از اعضای دو جمله را به طور یکپارچه تقسیم کند. به عنوان مثال ، مونومالی ایکس4{ displaystyle x ^ {4}} می توان فاکتور گرفت ایکس∗ایکس∗ایکس∗ایکس{ displaystyle x * x * x * x}... یعنی اگر عبارت دوم دو جمله ای شامل متغیر "x" باشد ، می توان "x" را از داخل پرانتز خارج کرد. بنابراین ، متغیرها را به عنوان اعداد صحیح در نظر بگیرید. مثلا:
- هر دو عضو دو جمله ای ${ displaystyle 2t + t ^ {2}}$ حاوی "t" است ، بنابراین "t" را می توان از پرانتز خارج کرد: ${ displaystyle t (2 + t)}$
- همچنین ، یک متغیر افزایش یافته به توان را می توان از براکت خارج کرد. به عنوان مثال ، هر دو عضو دو جمله ای ${ displaystyle x ^ {2} + x ^ {4}}$ حاوی ${ displaystyle x ^ {2}}$ ، بنابراین ${ displaystyle x ^ {2}}$ می تواند از براکت خارج شود: ${ displaystyle x ^ {2} (1 + x ^ {2})}$
2 برای به دست آوردن دو جمله ای ، اصطلاحات مشابه را اضافه یا تفریق کنید. به عنوان مثال ، با توجه به عبارت 6+2ایکس+14+3ایکس{ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}... در نگاه اول ، این چند جمله ای است ، اما در واقع ، این عبارت را می توان به دو جمله ای تبدیل کرد. عبارات مشابه را اضافه کنید: 6 و 14 (شامل متغیر نیست) و 2x و 3x (حاوی متغیر یکسان "x"). در این حالت ، فرآیند فاکتورینگ ساده می شود:
- بیان اصلی: ${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$
- به اعضا سفارش دهید: ${ displaystyle 2x + 3x + 14 + 6}$
- شرایط مشابه را اضافه کنید: ${ displaystyle 5x + 20}$
- GCD را پیدا کنید: ${ displaystyle 5 (x) +5 (4)}$
- عامل: ${ displaystyle 5 (x + 4)}$
3 تفاوت مربع های کامل را تعیین کنید. به عنوان مثال ، مربع کامل عددی است که ریشه آن یک عدد صحیح باشد 9{ displaystyle 9}(3∗3){ displaystyle (3 * 3)}, ایکس2{ displaystyle x ^ {2}}(ایکس∗ایکس){ displaystyle (x * x)} و حتی 144t2{ displaystyle 144t ^ {2}}(12t∗12t){ displaystyle (12t * 12t)}... اگر دو جمله ای تفاوت مربع های کامل است ، برای مثال ، آ2−ب2{ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}، سپس با فرمول فاکتور می شود:
- تفاوت فرمول مربع: ${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (a -b)}$
- یک وظیفه: ${ displaystyle 4x ^ {2} -9}$
- ریشه های مربعی را استخراج کنید:
  - ${ displaystyle { sqrt {4x ^ {2}}} = 2x}$
  - ${ displaystyle { sqrt {9}} = 3}$
- مقادیر پیدا شده را در فرمول جایگزین کنید: ${ displaystyle 4x ^ {2} -9 = (2x + 3) (2x -3)}$
4 تفاوت بین مکعب های کامل را مشخص کنید. اگر دو جمله ای تفاوت مکعب های کامل است ، برای مثال ، آ3−ب3{ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3}}، سپس با استفاده از یک فرمول خاص فاکتور می شود. در این مورد ، لازم است ریشه مکعب را از هر عضو دو جمله ای استخراج کرده و مقادیر یافت شده را در فرمول جایگزین کنید.
- فرمول تفاوت بین مکعب ها: ${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3} = (a -b) (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}$
- یک وظیفه: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
- استخراج ریشه های مکعبی:
  - ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
  - ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
- مقادیر پیدا شده را در فرمول جایگزین کنید: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x -3) (4x ^ {2} + 6x + 9)}$
5 مجموع مکعب های کامل را فاکتور بگیرید. بر خلاف مجموع مربع های کامل ، مجموع مکعب های کامل ، برای مثال ، آ3+ب3{ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3}}، می توان با استفاده از یک فرمول خاص فاکتور گرفت. این شبیه فرمول تفاوت بین مکعب ها است ، اما علائم معکوس هستند. فرمول بسیار ساده است - برای استفاده از آن ، مجموع مکعب های کامل را در مسئله پیدا کنید.
- فرمول مجموع مکعب ها: ${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ {2})}$
- یک وظیفه: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
- استخراج ریشه های مکعبی:
  - ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
  - ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
- مقادیر پیدا شده را در فرمول جایگزین کنید: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x + 3) (4x ^ {2} -6x + 9)}$

نکات

گاهی اعضای دو جمله ای تقسیم کننده مشترک ندارند. در برخی از وظایف ، اعضا به صورت ساده ارائه می شوند.
اگر نمی توانید GCD را فوراً پیدا کنید ، با تقسیم بر اعداد کوچک شروع کنید. به عنوان مثال ، اگر نمی بینید که GCD اعداد 32 و 16 16 است ، هر دو عدد را بر 2 تقسیم کنید. 16 و 8 بدست می آورید. این اعداد را می توان بر 8 تقسیم کرد. حالا 2 و 1 بدست می آورید. این اعداد را نمی توان کاهش داد بنابراین ، بدیهی است که تعداد بیشتری (در مقایسه با 8 و 2) وجود دارد ، که تقسیم کننده مشترک دو عدد داده شده است.
توجه داشته باشید که اصطلاحات درجه ششم (با ضریب 6 ، برای مثال x) هر دو مربع کامل و مکعب کامل هستند. بنابراین ، برای دوجمله هایی با اصطلاحات مرتبه ششم ، به عنوان مثال ، x - 64 ، می توان (به هر ترتیب) فرمولهای تفاوت مربع ها و تفاوت مکعب ها را اعمال کرد. اما بهتر است ابتدا فرمول تفاوت مربع ها را بکار ببرید تا به طور صحیح با دو جمله ای تجزیه شود.