محتوا

• مراحل
• روش 1 از 4: محاسبه ضریب همبستگی به صورت دستی
• روش 2 از 4: استفاده از ماشین حساب های آنلاین برای محاسبه ضریب همبستگی
• روش 3 از 4: با استفاده از یک ماشین حساب نمودار
• روش 4 از 4: توضیح مفاهیم اولیه
• نکات
• هشدارها

ضریب همبستگی (یا ضریب همبستگی خطی) به عنوان "r" (در موارد نادر به عنوان "ρ") نشان داده می شود و مشخص کننده همبستگی خطی (یعنی رابطه ای است که با مقدار و جهت مشخص می شود) دو یا چند متغیر است. مقدار ضریب بین -1 و +1 قرار دارد ، یعنی همبستگی می تواند هم مثبت و هم منفی باشد. اگر ضریب همبستگی -1 باشد ، یک همبستگی منفی کامل وجود دارد. اگر ضریب همبستگی 1+ باشد ، یک همبستگی مثبت کامل وجود دارد. در غیر این صورت ، بین دو متغیر همبستگی مثبت وجود دارد ، یک همبستگی منفی وجود دارد یا هیچ همبستگی وجود ندارد. ضریب همبستگی را می توان به صورت دستی ، با ماشین حساب آنلاین رایگان یا با یک ماشین حساب نمودار خوب محاسبه کرد.

مراحل

روش 1 از 4: محاسبه ضریب همبستگی به صورت دستی

1. 1 جمع آوری داده ها قبل از شروع محاسبه ضریب همبستگی ، این جفت اعداد را مطالعه کنید. بهتر است آنها را در جدولی که می تواند به صورت عمودی یا افقی مرتب شود بنویسید. هر سطر یا ستون را با "x" و "y" برچسب گذاری کنید.
   • به عنوان مثال ، چهار جفت مقدار (اعداد) از متغیرهای "x" و "y" داده شده است. می توانید جدول زیر را ایجاد کنید:
     • x || y
     • 1 || 1
     • 2 || 3
     • 4 || 5
     • 5 || 7
2. 2 میانگین حسابی "x" را محاسبه کنید. برای انجام این کار ، تمام مقادیر x را جمع کرده و سپس نتیجه را بر تعداد مقادیر تقسیم کنید.
   • در مثال ما ، چهار مقدار برای متغیر "x" وجود دارد. برای محاسبه میانگین حسابی "x" ، این مقادیر را اضافه کنید و سپس مجموع را بر 4 تقسیم کنید. محاسبات به شرح زیر نوشته می شوند:
   • ${ displaystyle mu _ {x} = (1 + 2 + 4 + 5) / 4}$
   • ${ displaystyle mu _ {x} = 12/4}$
   • ${ displaystyle mu _ {x} = 3}$
3. 3 میانگین حسابی "y" را بیابید. برای انجام این کار ، مراحل مشابه را دنبال کنید ، یعنی همه مقادیر y را جمع کنید و سپس مجموع را بر تعداد مقادیر تقسیم کنید.
   • در مثال ما ، چهار مقدار متغیر "y" آورده شده است. این مقادیر را اضافه کنید و سپس مجموع را بر 4 تقسیم کنید. محاسبات به شرح زیر نوشته می شود:
   • ${ displaystyle mu _ {y} = (1 + 3 + 5 + 7) / 4}$
   • ${ displaystyle mu _ {y} = 16/4}$
   • ${ displaystyle mu _ {y} = 4}$
4. 4 انحراف استاندارد "x" را محاسبه کنید. پس از محاسبه میانگین "x" و "y" ، انحراف معیار این متغیرها را بیابید. انحراف استاندارد با استفاده از فرمول زیر محاسبه می شود:
   • ${ displaystyle sigma _ {x} = { sqrt {{ frac {1} {n-1}} Sigma (x- mu _ {x}) ^ {2}}}}$
   • در مثال ما ، محاسبات به این صورت نوشته می شود:
   • ${ displaystyle sigma _ {x} = { sqrt {{ frac {1} {4-1}} * ((1-3) ^ {2} + (2-3) ^ {2} + ( 4-3) ^ {2} + (5-3) ^ {2})}}}$
   • ${ displaystyle sigma _ {x} = { sqrt {{ frac {1} {3}} * (4 + 1 + 1 + 4)}}}$
   • ${ displaystyle sigma _ {x} = { sqrt {{ frac {1} {3}} * (10)}}}$
   • ${ displaystyle sigma _ {x} = { sqrt { frac {10} {3}}}}$
   • ${ displaystyle sigma _ {x} = 1.83}$
5. 5 انحراف استاندارد "y" را محاسبه کنید. مراحل ذکر شده در مرحله قبل را دنبال کنید. از فرمول مشابه استفاده کنید ، اما مقادیر y را به آن وصل کنید.
   • در مثال ما ، محاسبات به این صورت نوشته می شود:
   • ${ displaystyle sigma _ {y} = { sqrt {{ frac {1} {4-1}} * ((1-4) ^ {2} + (3-4) ^ {2} + ( 5-4) ^ {2} + (7-4) ^ {2})}}}$
   • ${ displaystyle sigma _ {y} = { sqrt {{ frac {1} {3}} * (9 + 1 + 1 + 9)}}}$
   • ${ displaystyle sigma _ {y} = { sqrt {{ frac {1} {3}} * (20)}}}$
   • ${ displaystyle sigma _ {y} = { sqrt { frac {20} {3}}}}$
   • ${ displaystyle sigma _ {y} = 2.58}$
6. 6 فرمول اصلی محاسبه ضریب همبستگی را بنویسید. این فرمول شامل میانگین ها ، انحرافات استاندارد و تعداد (n) جفت اعداد هر دو متغیر است. ضریب همبستگی به عنوان "r" (در موارد نادر به عنوان "ρ") نشان داده شده است. این مقاله از یک فرمول برای محاسبه ضریب همبستگی پیرسون استفاده می کند.
   • ${ displaystyle rho = left ({ frac {1} {n-1}} right) Sigma left ({ frac {x- mu _ {x}} { sigma _ {x}} } right) * left ({ frac {y- mu _ {y}} { sigma _ {y}}} right)}$
   • در اینجا و در منابع دیگر ، مقادیر را می توان به روش های مختلف نشان داد. به عنوان مثال ، برخی از فرمول ها حاوی "ρ" و "σ" ، در حالی که برخی دیگر شامل "r" و "s" هستند. برخی از کتاب های درسی فرمول های متفاوتی را ارائه می دهند ، اما همتای ریاضی با فرمول بالا هستند.
7. 7 ضریب همبستگی را محاسبه کنید. شما میانگین و انحراف معیار هر دو متغیر را محاسبه کرده اید ، بنابراین می توانید از فرمول برای محاسبه ضریب همبستگی استفاده کنید. به یاد بیاورید که "n" تعداد جفت مقادیر برای هر دو متغیر است. مقادیر دیگر قبلاً محاسبه شده است.
   • در مثال ما ، محاسبات به این صورت نوشته می شود:
   • ${ displaystyle rho = left ({ frac {1} {n-1}} right) Sigma left ({ frac {x- mu _ {x}} { sigma _ {x}} } right) * left ({ frac {y- mu _ {y}} { sigma _ {y}}} right)}$
   • ${ displaystyle rho = left ({ frac {1} {3}} right) *}$[${ displaystyle left ({ frac {1-3} {1.83}} right) * left ({ frac {1-4} {2.58}} right) + left ({ frac {2 -3} {1.83}} راست) * چپ ({ frac {3-4} {2.58}} راست)}$
        ${ displaystyle + left ({ frac {4-3} {1.83}} right) * left ({ frac {5-4} {2.58}} right) + left ({ frac { 5-3} {1.83}} راست) * چپ ({ frac {7-4} {2.58}} راست)}$]
   • ${ displaystyle rho = left ({ frac {1} {3}} right) * left ({ frac {6 + 1 + 1 + 6} {4.721}} right)}$
   • ${ displaystyle rho = left ({ frac {1} {3}} right) * 2.965}$
   • ${ displaystyle rho = چپ ({ frac {2،965} {3}} راست)}$
   • ${ displaystyle rho = 0.988}$
8. 8 نتیجه را تجزیه و تحلیل کنید. در مثال ما ، ضریب همبستگی 0.988 است. این مقدار به نوعی مجموعه معینی از جفت اعداد را مشخص می کند. به علامت و مقدار ارزش توجه کنید.
   • از آنجا که مقدار ضریب همبستگی مثبت است ، بین متغیرهای "x" و "y" همبستگی مثبت وجود دارد. یعنی با افزایش مقدار "x" ، مقدار "y" نیز افزایش می یابد.
   • از آنجا که مقدار ضریب همبستگی بسیار نزدیک به 1+ است ، مقادیر متغیرهای "x" و "y" بسیار همبسته هستند. اگر نقاطی را در صفحه مختصات قرار دهید ، آنها نزدیک به یک خط مستقیم قرار می گیرند.

روش 2 از 4: استفاده از ماشین حساب های آنلاین برای محاسبه ضریب همبستگی

1. 1 برای محاسبه ضریب همبستگی ، یک ماشین حساب در اینترنت پیدا کنید. این ضریب اغلب در آمار محاسبه می شود. اگر تعداد زیادی جفت عدد وجود داشته باشد ، محاسبه ضریب همبستگی به صورت دستی تقریباً غیرممکن است. بنابراین ، ماشین حساب های آنلاین برای محاسبه ضریب همبستگی وجود دارد. در یک موتور جستجو ، "محاسبه کننده ضریب همبستگی" (بدون نقل قول) را وارد کنید.
2. 2 داده ها را وارد کنید. دستورالعمل های موجود در وب سایت را برای وارد کردن داده های صحیح (جفت اعداد) بررسی کنید. وارد کردن جفت مناسب اعداد ضروری است. در غیر این صورت ، نتیجه اشتباه خواهید گرفت. به یاد داشته باشید که وب سایت های مختلف دارای فرمت های ورودی متفاوتی هستند.
   • به عنوان مثال ، در http://ncalculators.com/statistics/correlation-coefficient-calculator.htm ، مقادیر متغیرهای x و y در دو خط افقی وارد می شوند. مقادیر با کاما از هم جدا می شوند. یعنی ، در مثال ما ، مقادیر "x" به این صورت وارد می شود: 1،2،4،5 و مقادیر "y" به این صورت: 1،3،5،7.
   • در سایت دیگری ، http://www.alcula.com/calculators/statistics/correlation-coefficient/ ، داده ها به صورت عمودی وارد می شوند. در این مورد ، جفت های مربوطه را با هم اشتباه نگیرید.
3. 3 ضریب همبستگی را محاسبه کنید. پس از وارد کردن داده ها ، کافی است بر روی دکمه "محاسبه" ، "محاسبه" یا موارد مشابه کلیک کنید تا نتیجه را دریافت کنید.

روش 3 از 4: با استفاده از یک ماشین حساب نمودار

1. 1 داده ها را وارد کنید. یک ماشین حساب نمودار بگیرید ، به حالت محاسبه آماری بروید و فرمان "ویرایش" را انتخاب کنید.
   • ماشین های مختلف برای فشردن به کلیدهای متفاوتی نیاز دارند. این مقاله درباره ماشین حساب TI-86 Texas Instruments بحث می کند.
   • [2] - Stat (بالای کلید +) را فشار دهید تا وارد حالت محاسبه آماری شوید. سپس F2 - Edit را فشار دهید.
2. 2 اطلاعات ذخیره شده قبلی را حذف کنید. اکثر ماشین حساب ها آمارهایی را که وارد می کنید نگه می دارند تا زمانی که آنها را پاک کنید. برای جلوگیری از اشتباه گرفتن داده های قدیمی با اطلاعات جدید ، ابتدا اطلاعات ذخیره شده را حذف کنید.
   • از کلیدهای جهت دار برای حرکت مکان نما و برجسته کردن عنوان 'xStat' استفاده کنید. سپس Clear and Enter را فشار دهید تا همه مقادیر وارد شده در ستون xStat پاک شوند.
   • از کلیدهای جهت دار برای برجسته کردن عنوان "yStat" استفاده کنید. سپس Clear and Enter را فشار دهید تا همه مقادیر وارد شده در ستون yStat پاک شوند.
3. 3 داده های اولیه را وارد کنید. از کلیدهای جهت دار برای انتقال مکان نما به اولین سلول تحت عنوان "xStat" استفاده کنید. مقدار اول را وارد کرده و Enter را فشار دهید. در پایین صفحه ، "xStat (1) = __" نمایش داده می شود که مقدار وارد شده جایگزین فاصله می شود. پس از فشار دادن Enter ، مقدار وارد شده در جدول ظاهر می شود و مکان نما به خط بعدی منتقل می شود. این "xStat (2) = __" را در پایین صفحه نمایش می دهد.
   • همه مقادیر متغیر "x" را وارد کنید.
   • پس از وارد کردن تمام مقادیر x ، از کلیدهای جهت دار برای حرکت به ستون yStat استفاده کرده و مقادیر y را وارد کنید.
   • پس از وارد کردن همه جفت اعداد ، Exit را فشار دهید تا صفحه پاک شود و از حالت تجمیع خارج شوید.
4. 4 ضریب همبستگی را محاسبه کنید. این نشان می دهد که داده ها چقدر به یک خط مستقیم نزدیک هستند. ماشین حساب نمودار می تواند به سرعت خط مستقیم مناسب را تعیین کرده و ضریب همبستگی را محاسبه کند.
   • روی Stat - Calc کلیک کنید. در TI -86 ، [2nd] - [Stat] - [F1] را فشار دهید.
   • تابع رگرسیون خطی را انتخاب کنید. در TI-86 ، [F3] را که برچسب "LinR" دارد فشار دهید. روی صفحه خط "LinR _" با یک مکان نما چشمک می زند.
   • حالا نام دو متغیر را وارد کنید: xStat و yStat.
     • در TI-86 ، لیست اسامی را باز کنید ؛ برای انجام این کار ، [2nd] - [List] - [F3] را فشار دهید.
     • متغیرهای موجود در خط پایین صفحه نمایش داده می شوند. [xStat] را انتخاب کنید (احتمالاً برای انجام این کار باید F1 یا F2 را فشار دهید) ، کاما را وارد کنید و سپس [yStat] را انتخاب کنید.
     • Enter را فشار دهید تا داده های وارد شده پردازش شوند.
5. 5 نتایج خود را تجزیه و تحلیل کنید. با فشار دادن Enter ، صفحه اطلاعات زیر را نمایش می دهد:
   • ${ displaystyle y = a + bx}$: این تابعی است که خط را توصیف می کند. لطفاً توجه داشته باشید که تابع به صورت استاندارد نوشته نشده است (y = kx + b).
   • ${ displaystyle a =}$... این مختصات y تقاطع خط مستقیم با محور y است.
   • ${ displaystyle b =}$... این شیب خط است.
   • ${ displaystyle { text {corr}} =}$... این ضریب همبستگی است.
   • ${ displaystyle n =}$... این تعداد جفت اعدادی است که در محاسبات استفاده شده است.

روش 4 از 4: توضیح مفاهیم اولیه

1. 1 درک مفهوم همبستگی همبستگی رابطه آماری بین دو کمیت است. ضریب همبستگی یک مقدار عددی است که می تواند برای هر دو مجموعه داده محاسبه شود. مقدار ضریب همبستگی همیشه در محدوده -1 تا 1+ قرار دارد و میزان رابطه بین دو متغیر را مشخص می کند.
   • به عنوان مثال ، با توجه به قد و سن کودکان (حدود 12 سال). به احتمال زیاد ، یک همبستگی مثبت قوی وجود خواهد داشت ، زیرا کودکان با افزایش سن قد می کشند.
   • نمونه ای از یک همبستگی منفی: ثانیه های پنالتی و زمان سپری شده در تمرینات بیاتلون ، یعنی هرچه ورزشکار بیشتر تمرین کند ، ثانیه پنالتی کمتری تعلق می گیرد.
   • در نهایت ، گاهی اوقات همبستگی بسیار کمی (مثبت یا منفی) ، مانند اندازه کفش و نمرات ریاضی وجود دارد.
2. 2 به یاد داشته باشید که چگونه میانگین حساب را محاسبه کنید. برای محاسبه میانگین حسابی (یا میانگین) ، باید مجموع همه این مقادیر را پیدا کرده و سپس آن را بر تعداد مقادیر تقسیم کنید. به یاد داشته باشید که میانگین حسابی برای محاسبه ضریب همبستگی مورد نیاز است.
   • مقدار متوسط ​​یک متغیر با یک حرف با نوار افقی بالای آن نشان داده می شود. به عنوان مثال ، در مورد متغیرهای "x" و "y" ، میانگین مقادیر آنها به صورت زیر نشان داده می شود: x̅ و y̅. میانگین گاهی با حرف یونانی "μ" (mu) نشان داده می شود. برای نوشتن میانگین حسابی مقادیر متغیر "x" ، از علامت μ استفاده کنید_ایکس یا μ (x).
   • به عنوان مثال ، با توجه به مقادیر زیر برای متغیر "x": 1،2،5،6،9،10. میانگین حسابی این مقادیر به شرح زیر محاسبه می شود:
     • ${ displaystyle mu _ {x} = (1 + 2 + 5 + 6 + 9 + 10) / 6}$
     • ${ displaystyle mu _ {x} = 33/6}$
     • ${ displaystyle mu _ {x} = 5.5}$
3. 3 به اهمیت انحراف معیار توجه کنید. در آمار ، انحراف معیار میزان پراکندگی اعداد نسبت به میانگین آنها را مشخص می کند. اگر انحراف معیار کوچک باشد ، اعداد نزدیک به میانگین هستند. اگر انحراف معیار بزرگ باشد ، اعداد از میانگین فاصله دارند.
   • انحراف معیار با حرف "s" یا حرف یونانی "σ" (سیگما) نشان داده می شود. بنابراین ، انحراف استاندارد مقادیر متغیر "x" به شرح زیر نشان داده می شود: s_ایکس یا σ_ایکس.
4. 4 نماد عمل جمع را به خاطر بسپارید. نماد جمع یکی از رایج ترین نمادها در ریاضیات است و مجموع مقادیر را نشان می دهد. این نماد حرف یونانی "Σ" (سیگمای بزرگ) است.
   • به عنوان مثال ، اگر مقادیر زیر از متغیر "x" داده شود: 1،2،5،6،9،10 ، پس از آن Σx به این معنی است:
     • 1 + 2 + 5 + 6 + 9 + 10 = 33.

نکات

• ضریب همبستگی گاهی به نام توسعه دهنده آن کارل پیرسون "ضریب همبستگی پیرسون" نامیده می شود.
• در بیشتر موارد ، وقتی ضریب همبستگی بیشتر از 0.8 (مثبت یا منفی) باشد ، همبستگی قوی وجود دارد. اگر ضریب همبستگی کمتر از 0.5 (مثبت یا منفی) باشد ، همبستگی ضعیفی مشاهده می شود.

هشدارها

• همبستگی رابطه بین مقادیر دو متغیر را مشخص می کند. اما به یاد داشته باشید که همبستگی هیچ ارتباطی با علیت ندارد. به عنوان مثال ، اگر قد و اندازه کفش افراد را مقایسه کنید ، احتمالاً یک همبستگی مثبت قوی پیدا خواهید کرد. به طور کلی ، هرچه فرد بلندتر باشد ، اندازه کفش بزرگتر است. اما این بدان معنا نیست که افزایش قد منجر به افزایش خودکار اندازه کفش می شود ، یا اینکه پاهای بزرگتر باعث رشد سریعتر می شود. این مقادیر به سادگی به هم مرتبط هستند.