محتوا

• مراحل
• مشاوره

قضیه فیثاغورث (فیثاغورس) یک قضیه ریاضی است که بسیار مورد استفاده قرار می گیرد و کاربردهای عملی بسیاری دارد. قضیه بیان می کند که در هر مثلث قائم الزاویه ، مجمع مربع های دو ضلع راست با مربع هیپوتنوز برابر است. به عبارت دیگر ، در یک مثلث قائم الزاویه با اضلاع عمود طول a و b و طول هیپوتنوز c ، ما همیشه a + b = c. قضیه فیثاغورث یکی از ارکان اصلی هندسه اساسی است. کاربردهای عملی بی شماری مانند یافتن فاصله بین دو نقطه در صفحه مختصات وجود دارد.

مراحل

روش 1 از 2: اضلاع مثلث را پیدا کنید

1. 

   مطمئن شوید که مثلث شما مثلث قائم است. قضیه فیثاغورث فقط در مثلث های راست اعمال می شود. بنابراین ، قبل از ادامه ، مطمئن شوید که مثلث شما معیارهای یک مثلث را دارد. خوشبختانه ، فقط یک معیار وجود دارد - برای اینکه مثلث قائم الزاویه باشد ، باید زاویه 90 درجه داشته باشد.
   • به عنوان نشانه بصری ، زاویه راست معمولاً با یک مربع کوچک مشخص می شود ، اما با یک "منحنی" دایره مشخص نمی شود. در گوشه مثلث به دنبال این علامت خاص باشید.

2. 

   
   
   ضلع های مثلث a ، b و c را صدا بزنید. در قضیه فیثاغورث ، a و b اضلاع قائم الزاویه هستند ، c هیپوتنوز است - طولانی ترین ضلع همیشه در مقابل زاویه های راست قرار دارد. بنابراین برای شروع ، اضلاع کوتاهتر مثلث a و b را فراخوانی کنید (فرقی نمی کند کدام ضلع "a" یا "b" باشد) و hypotenuse c را صدا بزنید.

3. 

   
   
   مشخص کنید کدام ضلع مثلث را باید پیدا کنید. قضیه فیثاغورس به ریاضیدانان اجازه می دهد طول هر یک را پیدا کنند یکی کدام ضلع مثلث درست است به شرطی که طول را بلد باشند دو لبه دیگر. تعیین لبه طول ناشناخته - آ, ب، و / یا ج. اگر فقط یک لبه ناشناخته باشد ، می توانید شروع کنید.
   • به عنوان مثال ، فرض کنید می دانیم که هایپوتنوز دارای طول 5 و یکی از اضلاع آن دارای طول 3 است ، اما ما نمی دانیم ضلع سوم چیست. در این حالت ، ما مشکل پیدا کردن ضلع سوم را حل خواهیم کرد ، زیرا ما از طول دو طرف دیگر مطلع هستیم. در مراحل بعدی از این مثال استفاده خواهیم کرد.
   • اگر طول دو لبه ناشناخته است ، برای استفاده از قضیه فیثاغورس باید طول یک لبه دیگر را تعیین کنید. اگر می دانید چگونه یکی از زاویه های تیز مثلث را اندازه بگیرید ، توابع اصلی مثلثاتی می توانند به شما کمک کنند.

4. 

   
   
   دو مقدار شناخته شده را در معادله جایگزین کنید. طول اضلاع مثلث خود را به معادله a + b = c وصل کنید. به یاد داشته باشید که a و b زاویه قائم هستند و c هیپوتنوز است.
   • در مثال بالا ، طول یک ضلع و هیپوتنوز را می دانیم (که 3 و 5 است) ، بنابراین معادله 3² + b² = 5²

5. 

   مربع برای حل یک معادله ، با مربع کردن هر یک از لبه های شناخته شده شروع کنید. همچنین ، اگر راحت ترید ، می توانید طول اضلاع را نمایی بگذارید ، سپس بعداً مربع کنید.
   • در این مثال ، برای بدست آوردن آن 3 و 5 را مربع می کنیم 9 و 25. معادله ای که می تواند بازنویسی شود 9 + b² = 25 است.

6. 

   متغیر ناشناخته را به یک طرف معادله تقسیم کنید. در صورت لزوم ، از جبر اساسی استفاده کنید تا متغیر ناشناخته را از معادله و دو عدد مربع را کنار معادله قرار دهید. اگر هیپوتنوز را پیدا کنید ، c در یک طرف جداگانه است ، بنابراین برای جدا کردن آن نیازی به هیچ کاری ندارید.
   • در این مثال ، معادله فعلی 9 + b² = 25 است. برای تقسیم b² ، هر دو طرف معادله را برای 9 کم کنید. معادله حاصل b² = 16 است.

7. 

   ریشه مربع هر دو طرف معادله را بدست آورید. اکنون یک متغیر مربع در یک طرف معادله و یک عدد در طرف دیگر خواهید داشت. به سادگی ریشه مربع هر دو طرف را بگیرید تا طول ضلع نامعلوم را پیدا کنید.
   • در این مثال ، b² = 16 ، گرفتن ریشه مربع هر دو طرف b = 4 می دهد. بنابراین ، طول ضلع پیدا می شود 4.

8. 

   با استفاده از قضیه فیثاغورث ضلع یک مثلث واقعی را پیدا کنید. دلیلی که امروزه از این قضیه به طور گسترده استفاده می شود این است که برای بسیاری از موقعیت های عملی قابل استفاده است. یاد بگیرید که مثلث قائم الزاویه را در زندگی تشخیص دهید - هر موقعیتی که دو جسم یا دو خط در یک زاویه قائم با هم تلاقی کنند و جسم یا خط سوم آن زاویه قائم را قطع کند ، می توانید از ژانا استفاده کنید. روش فیثاغورس برای یافتن طول یکی از اضلاع با توجه به طول دو طرف دیگر.
   • در عمل مثال بزنید. نردبانی به ساختمان تکیه داده است. راه پله 5 متر از پای دیوار فاصله دارد. آسانسور به ارتفاع 20 متر از ساختمان. نردبان چقدر طول دارد؟
     • راه پله در 5 متری دیوار و 20 متر از دیوار ساختمان ، طول اضلاع مثلث را به ما می گوید. از آنجا که دیوار و زمین با یک زاویه قائم تلاقی می کنند و نردبان به سمت مورب بالا می رود ، می توانیم آن را مثلث مثلثی با طول ضلع a = 5 و b = 20 تصور کنیم. هیپوتنوز ، بنابراین c نمی داند. بیایید از قضیه فیثاغورث استفاده کنیم:
       • a² + b² = c²
       • (5) ² + (20) ² = c²
       • 25 + 400 = c²
       • 425 = c²
       • ریشه مربع (425) = c
       • c = 20.6. طول تقریبی نردبان 20.6 متر است.
   تبلیغات

روش 2 از 2: فاصله بین دو نقطه در صفحه X-Y را محاسبه کنید

1. 

   در صفحه X-Y دو نقطه را تعیین کنید. از قضیه فیثاغورس برای محاسبه فاصله خطی بین دو نقطه در صفحه X-Y به راحتی می توان استفاده کرد. تنها چیزی که باید بدانید مختصات x و y هر دو نقطه است. معمولاً این مختصات به صورت جفت ترتیب مختصات (x، y) نوشته می شوند.
   • برای یافتن فاصله بین این دو نقطه ، با هر نقطه به عنوان یکی از زاویه های تیز مثلث قائم رفتار خواهیم کرد. به این ترتیب به راحتی می توان طول ضلع a و b را پیدا کرد و سپس ضلع c یا فاصله دقیق بین دو نقطه را محاسبه کرد.

2. 

   دو نمودار را روی نمودار رسم کنید. در یک صفحه X-Y معمولی ، برای هر نقطه (x ، y) ، x مختصات در محور افقی و y مختصات در محور عمودی است. بدون رسم نمودارها روی نمودار می توانید فواصل بین دو نقطه را پیدا کنید ، اما نمودار به شما کمک می کند تا بهتر ببینید.

3. 

   طول اضلاع سمت راست مثلث را پیدا کنید. با استفاده از دو نقطه داده شده به عنوان زاویه مثلث مجاور هیپوتنوز ، اضلاع a و b مثلث را پیدا کنید. این کار را می توانید بصورت بصری روی نمودار یا با استفاده از فرمول | x انجام دهید₁ - ایکس₂| برای لبه های افقی و | y₁ - بله₂| برای لبه عمودی ، جایی که (x₁،₁) اولین نقطه است و (x₂،₂) نکته دوم است.
   • فرض کنید دو نقطه عبارتند از (6،1) و (3،5). طول ضلع افقی مثلث:
     • | x₁ - ایکس₂|
     • |3 - 6|
     • | -3 | = 3
   • طول لبه عمودی:
     • |₁ - بله₂|
     • |1 - 5|
     • | -4 | = 4
   • بنابراین ، می توان گفت که در این مثلث قائم ، ضلع a = 3 و ضلع b = 4.

4. 

   برای حل معادله هیپوتنوز از قضیه فیثاغورث استفاده کنید. فاصله دو نقطه داده شده همانطور که قبلاً تعیین کردیم ، فرضیه یک مثلث با دو ضلع قائم الزاویه است. با استفاده از قضیه فیثاغورث معمول برای یافتن هیپوتنوز ، بگذارید a طول ضلع اول و b طول ضلع دوم باشد.
   • در مثال با نقاط (3،5) و (6،1) ، طول زاویه های راست 3 و 4 است ، بنابراین ما طول هیپوتنوز را به صورت زیر محاسبه می کنیم:

     • (3) ² + (4) ² = c²

       c = ریشه مربع (9 + 16)

       c = ریشه مربع (25)

       c = 5. فاصله بین دو نقطه (3،5) و (6،1) است 5.

   تبلیغات

مشاوره

• هیپوتنوز همیشه:
  • زاویه های راست را قطع می کند (از زاویه های راست عبور نکنید)
  • بلندترین ضلع مثلث قائم الزاویه است
  • ارائه شده توسط ج در قضیه فیثاغورث
• همیشه نتایج را بررسی کنید.
• یک آزمایش دیگر - طولانی ترین طرف با بزرگترین و کوتاهترین طرف با کوچکترین روبرو خواهد شد.
• در یک مثلث مستطیل ، ضلع سوم را فقط وقتی می دانید که طول دو ضلع دیگر را بدانید.
• اگر مثلث مثلث قائم الزاویه نباشد ، باید علاوه بر طول اضلاع ، اطلاعات بیشتری نیز داشته باشید.
• برای اختصاص مقادیر دقیق به a ، b و c ، باید مثلث را به شکل نقاشی نشان دهید ، مخصوصاً برای منطق یا مشکلات کلمه.
• اگر فقط اندازه گیری های یک طرفه داشته باشید ، نمی توانید از قضیه فیثاغورث استفاده کنید. در عوض از توابع مثلثاتی (sin ، cos ، tan) یا نسبت 30-60-90 / 45-45-90 استفاده کنید.