محتوا

• گام برداشتن
• آغاز
• روش 1 از 6: آزمایش و خطا
• روش 2 از 6: تجزیه
• روش 3 از 6: بازی سه گانه
• روش 4 از 6: تفاوت بین دو مربع
• روش 5 از 6: فرمول ABC
• روش 6 از 6: استفاده از ماشین حساب
• نکات
• هشدارها
• ضروریات

یک چند جمله ای شامل یک متغیر (x) به یک قدرت خاص و چندین اصطلاح و / یا ثابت است. برای فاکتور چند جمله ای ، باید عبارت را به عبارات کوچکتر تقسیم کنید که با هم ضرب شده اند. این به سطح خاصی از ریاضیات نیاز دارد و بنابراین اگر هنوز خیلی دور نباشید درک آن دشوار است.

گام برداشتن

آغاز

1. معادله. قالب استاندارد برای یک معادله درجه دوم:
   
   ax + bx + c = 0
   با تنظیم اصطلاحات در معادله خود از بالاترین تا کمترین قدرت شروع کنید. به عنوان مثال ،
   
   6 + 6x + 13x = 0
   ما می خواهیم این عبارت را دوباره مرتب کنیم تا کار با آن ساده تر شود - فقط با انتقال اصطلاحات:
   
   6x + 13x + 6 = 0
2. با استفاده از یکی از روشهای زیر فاکتورها را پیدا کنید. فاکتور کردن چند جمله ای منجر به دو عبارت کوچکتر می شود که می تواند برای بدست آوردن چند جمله ای اصلی با هم ضرب شود:
   
   6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
   در این مثال ، (2x +3) و (3x + 2) هستند عوامل از عبارت اصلی ، 6x + 13x + 6.
3. کارتو چک کن! عواملی را که یافتید ضرب کنید. اصطلاحات مشابه را با هم ترکیب کنید و کار شما تمام است. شروع کن با:
   
   (2x + 3) (3x + 2)
   بیایید این را آزمایش کنیم ، عبارات را با استفاده از EBBL (اول - بیرونی - درونی - آخرین) ضرب می کنیم ، که به ما می دهد:
   
   6x + 4x + 9x + 6
   حالا 4x و 9x را با هم جمع می کنیم زیرا اصطلاحات برابر هستند. ما می دانیم که فاکتورها صحیح هستند زیرا معادله ای را که با آن شروع کرده ایم پس می گیریم:
   
   6x + 13x + 6

روش 1 از 6: آزمایش و خطا

اگر یک چند جمله ای نسبتاً ساده داشته باشید ، ممکن است بلافاصله ببینید چه عواملی وجود دارد. به عنوان مثال ، بعد از مدتی تمرین ، بسیاری از ریاضیدانان قادر به دیدن این عبارت هستند 4x + 4x + 1 فاکتورها را دارد (2x + 1) و (2x + 1) فقط به این دلیل که آنها بارها این مورد را دیده اند. (بدیهی است که با چند جمله ای های پیچیده تر این کار به آسانی انجام نخواهد شد.) بیایید یک عبارت استاندارد کمتر برای این مثال در نظر بگیریم:

3x + 2x - 8

1. فاکتورهای آ اصطلاح و ج مدت، اصطلاح. از قالب استفاده کنید ax + bx + c = 0، تشخیص آ و ج شرایط و توجه داشته باشید که عوامل وجود دارد. برای 3x + 2x - 8 ، این بدان معنی است:
   
   a = 3 و دارای 1 جفت عامل است: 1 * 3
   c = -8 و این دارای 4 جفت فاکتور است: -2 * 4 ، -4 * 2 ، -8 * 1 و -1 * 8.
2. دو جفت پرانتز را با یک فضای خالی یادداشت کنید. در اینجا ثابت های هر عبارت را وارد می کنید:
   
   (x) (x)
3. فضای قبل از x را با تعدادی از فاکتورهای احتمالی x پر کنید آ مقدار. برای آ اصطلاح در مثال ما ، 3x ، فقط 1 احتمال وجود دارد:
   
   (3 برابر) (1 برابر)
4. 2 فاصله بعد از x را با چند فاکتور برای ثابت ها پر کنید. فرض کنید 8 و 1 را انتخاب کنیم این را وارد کنید:
   
   (3 برابر8)(ایکس1)
5. مشخص کنید که کدام علامت ها (به علاوه یا منهای) باید بین متغیرهای x و اعداد باشد. بسته به شخصیت های اصطلاح اصلی ، می توان فهمید که شخصیت های ثابت باید چگونه باشند. بیایید دو ثابت دو عامل را در نظر بگیریم ساعت و ک به ذکر:
   
   اگر ax + bx + c سپس (x + h) (x + k)
   اگر ax - bx - c یا ax + bx - c سپس (x - h) (x + k)
   اگر ax - bx + c سپس (x - h) (x - k)
   در مثال ما ، 3x + 2x - 8 ، علامت این است: (x - h) (x + k) ، که دو عامل زیر را به ما می دهد:
   
   (3x + 8) و (x - 1)
6. انتخاب خود را با ضرب اول - بیرونی - درونی - آخرین آزمایش کنید. اولین تست سریع برای دیدن اینکه آیا میان مدت حداقل مقدار صحیح است یا خیر. در غیر اینصورت ، احتمالاً مورد اشتباهی دارید ج عوامل انتخاب شده بیایید جواب را آزمایش کنیم:
   
   (3x + 8) (x - 1)
   با ضرب به دست می آوریم:
   
   3x - 3x + 8x - 8
   با افزودن اصطلاحات مشابه (-3x) و (8x) این عبارت را ساده کنید و بدست می آوریم:
   
   3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
   اکنون می دانیم که عوامل اشتباه را در نظر گرفتیم:
   
   3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8
7. در صورت لزوم گزینه های خود را تغییر دهید. در مثال ما ، اجازه دهید به جای 1 و 8 ، 2 و 4 را امتحان کنید:
   
   (3x + 2) (x - 4)
   حالا ما ج اصطلاح برابر با -8 است ، اما محصول خارجی / داخلی (3x * -4) و (2 * x) -12x و 2x است ، که صحیح نیست ب مدت یا + 2 برابر
   
   -12x + 2x = 10x
   10 برابر 2 برابر
8. در صورت لزوم سفارش را معکوس کنید. بیایید سعی کنیم 2 و 4 را تلنگر کنیم:
   
   (3x + 4) (x - 2)
   حالا ما ج اصطلاح (4 * 2 = 8) و هنوز هم خوب است ، اما محصولات خارجی / داخلی -6x و 4x است. وقتی اینها را با هم ترکیب می کنیم:
   
   -6x + 4x = 2x
   2x ≠ -2x ما در حال حاضر تقریباً به جایی که می خواهیم نزدیک به 2 برابر می شویم ، اما علامت هنوز درست نیست.
9. در صورت لزوم شخصیت های خود را دوباره بررسی کنید. ما این سفارش را حفظ می کنیم ، اما آن را با علامت منفی عوض می کنیم:
   
   (3x - 4) (x + 2)
   در حال حاضر ج اصطلاح هنوز خوب است و محصولات خارجی / داخلی اکنون (6x) و (-4x) هستند. زیرا:
   
   6x - 4x = 2x
   2x = 2x اکنون ما شاهد مثبت 2x از مسئله اصلی هستیم. اینها باید فاکتورهای درستی باشند.

روش 2 از 6: تجزیه

این روش تمام فاکتورهای احتمالی آن را می دهد آ و ج اصطلاحات و با استفاده از آنها برای پیدا کردن عوامل صحیح است. اگر اعداد خیلی بزرگ هستند یا حدس و گمان روش های دیگر خیلی طولانی می شود ، از این روش استفاده کنید. یک مثال:

6x + 13x + 6

1. ضرب کنید آ اصطلاح با ج مدت، اصطلاح. در این مثال ، آ 6 است و ج همچنین 6 است.
   
   6 * 6 = 36
2. پیدا کن ب اصطلاح توسط فاکتور و آزمایش. ما به دنبال 2 عددی هستیم که فاکتورهای آن باشند آ * ج ، و با هم ب اصطلاح (13).
   
   4 * 9 = 36
   4 + 9 = 13
3. دو عددی را که در معادله خود بدست آورده اید را به عنوان جمع جمع کنید ب مدت، اصطلاح. بیا ک و ساعت برای نشان دادن 2 عددی که داریم ، 4 و 9:
   
   تبر + kx + hx + c
   6x + 4x + 9x + 6
4. چندجمله ای را با گروه بندی فاکتور کنید. معادله را ترتیب دهید تا بتوانید بزرگترین تقسیم کننده مشترک دو اصطلاح اول و دو اصطلاح آخر را جدا کنید. هر دو عامل باید یکسان باشند. GGD ها را به هم اضافه کرده و در براکت ها کنار عوامل قرار دهید. در نتیجه دو عامل بدست می آورید:
   
   6x + 4x + 9x + 6
   2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
   (2x + 3) (3x + 2)

روش 3 از 6: بازی سه گانه

مشابه روش تجزیه. روش "بازی سه گانه" عوامل احتمالی محصول را بررسی می کند آ و ج و استفاده از آن برای پیدا کردن چه چیزی ب باید باشد. معادله را به عنوان مثال در نظر بگیرید:

8x + 10x + 2

1. ضرب کنید آ اصطلاح با ج مدت، اصطلاح. همانند روش تجزیه ، ما از این روش برای تعیین نامزدهای انتخاباتی استفاده می کنیم ب مدت، اصطلاح. در این مثال: آ 8 است و ج 2 است
   
   8 * 2 = 16
2. 2 عدد با این عدد را به عنوان محصول و با مجموع برابر آن پیدا کنید ب مدت، اصطلاح. این مرحله همان روش تجزیه است - ما نامزدها را برای ثابت ها آزمایش می کنیم. محصول آ و ج عبارات 16 است ، و ج مدت 10 است:
   
   2 * 8 = 16
   8 + 2 = 10
3. این 2 عدد را بگیرید و آنها را در فرمول "بازی سه گانه" جایگزین کنید. 2 عدد مرحله قبل را بردارید - بیایید آنها را بدست آوریم ساعت و ک آنها را صدا کنید - و آنها را در عبارت قرار دهید:
   
   ((ax + h) (ax + k)) / a
   
   با این کار ما بدست می آوریم:
   
   ((8x + 8) (8x + 2)) / 8
4. ببینید کدام یک از دو اصطلاح مخرج را می توان به طور کامل تقسیم کرد آ. در این مثال ، ما در حال بررسی این موضوع هستیم که آیا (8x + 8) یا (8x + 2) قابل تقسیم بر 8 است (8x + 8) بر 8 قابل تقسیم است ، بنابراین این اصطلاح را بر آ و دیگری را تحت تأثیر قرار نمی دهیم.
   
   (8x + 8) = 8 (x + 1)
   اصطلاحی که ما در اینجا نگه داشته ایم اصطلاحی است که پس از تقسیم بر آ اصطلاح: (x + 1)
5. در صورت امکان بزرگترین مقسوم علیه (gcd) را از هر دو یا هر دو اصطلاح در نظر بگیرید. در این مثال می بینیم که اصطلاح دوم gcd 2 دارد ، زیرا 8x + 2 = 2 (4x + 1). این پاسخ را با اصطلاحی که در مرحله قبل کشف کرده اید ترکیب کنید. اینها عوامل مقایسه شما هستند.
   
   2 (x + 1) (4x + 1)

روش 4 از 6: تفاوت بین دو مربع

شما می توانید برخی ضرایب را در یک چند جمله ای به عنوان "مربع" یا همچنین به عنوان حاصلضرب 2 عدد یکسان تشخیص دهید. با فهمیدن اینکه کدام مربع ها هستند ، ممکن است بتوانید چند جمله ای ها را خیلی سریعتر فاکتور بگیرید. ما از این معادله استفاده می کنیم:

27 برابر - 12 = 0

1. در صورت امکان gcd را از معادله حذف کنید. در این حالت می بینیم که 27 و 12 هر دو بر 3 قابل تقسیم هستند ، بنابراین می توانیم آنها را جداگانه قرار دهیم:
   
   27x - 12 = 3 (9x - 4)
2. مشخص کنید ضرایب معادله شما مربع هستند یا خیر. برای استفاده از این روش تعیین ریشه اصطلاحات ضروری است. (توجه داشته باشید که ما علائم منفی را حذف کردیم - از آنجا که این اعداد مربع هستند ، ممکن است حاصل 2 عدد منفی باشند)
   
   9x = 3x * 3x و 4 = 2 * 2
3. با استفاده از ریشه مربعی که تعیین کرده اید ، اکنون می توانید فاکتورها را بنویسید. ما آ و ج مقادیر مرحله قبل: آ = 9 و ج = 4 ، بنابراین ریشه این موارد عبارتند از: -آ = 3 وج = 2. این ضرایب عبارات فاکتوریل شده است:
   
   27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

روش 5 از 6: فرمول ABC

اگر به نظر می رسد هیچ مشکلی وجود ندارد و نمی توانید معادله را حل کنید ، از فرمول abc استفاده کنید. مثال زیر را در نظر بگیرید:

x + 4x + 1 = 0

1. مقادیر مربوطه را در فرمول abc وارد کنید:
   
   x = -b ± √ (b - 4ac)
         ---------------------
   2a
   اکنون این عبارت را بدست می آوریم:
   
   x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2
2. برای x حل کنید. اکنون باید 2 مقدار برای x بدست آورید. اینها هستند:
   
   
   x = -2 + √ (3) یا x = -2 - √ (3)
3. از مقادیر x برای تعیین عوامل استفاده کنید. مقادیر x بدست آمده در دو معادله را به عنوان ثابت وارد کنید. اینها عوامل شما هستند. اگر به این دو پاسخ دهیم ساعت و ک ما دو عامل را به شرح زیر یادداشت می کنیم:
   
   (x - h) (x - k)
   در این حالت ، پاسخ نهایی این است:
   
   (x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

روش 6 از 6: استفاده از ماشین حساب

اگر استفاده از ماشین حساب نمودار مجاز باشد (یا اجباری باشد) ، این امر فاکتورگیری را بسیار آسان می کند ، خصوصاً برای امتحانات و امتحانات. دستورالعمل های زیر برای یک ماشین حساب نمودار TI است. ما از معادله مثال استفاده می کنیم:

y = x - x - 2

1. معادله را در ماشین حساب خود وارد کنید. شما از حل معادله استفاده خواهید کرد که به صفحه [Y =] نیز معروف است.
2. معادله را با ماشین حساب نمودار کنید. هنگامی که وارد معادله شدید ، [GRAPH] را فشار دهید - اکنون باید یک خط منحنی ، یک سهمی به عنوان نمایش گرافیکی معادله خود را ببینید (و این یک سهمی است زیرا ما با یک چند جمله ای روبرو هستیم).
3. محل تلاقی سهمی با محور x را پیدا کنید. از آنجا که یک معادله درجه دوم به طور سنتی به عنوان ax + bx + c = 0 نوشته می شود ، این دو مقدار x هستند که معادله را برابر با صفر می کنند:
   
   (-1, 0), (2 , 0)
   x = -1 ، x = 2
   • اگر نمی توانید محل اختلاف سه بعدی سه محور را با محور x ببینید ، [2] و سپس [TRACE] را فشار دهید. [2] را فشار دهید یا "صفر" را انتخاب کنید. مکان نما را به سمت چپ یک تقاطع حرکت دهید و [ENTER] را فشار دهید. مکان نما را به سمت راست یک تقاطع حرکت دهید و [ENTER] را فشار دهید. مکان نما را تا آنجا که ممکن است به نقطه تقاطع نزدیک کرده و [ENTER] را فشار دهید. ماشین حساب مقدار x را نشان می دهد. این کار را برای تقاطع دیگر نیز انجام دهید.
4. مقادیر x بدست آمده را در دو عبارت فاکتور وارد کنید. اگر دو مقدار x را بگیریم ساعت و ک به عنوان یک اصطلاح ، عبارتی که ما استفاده می کنیم به صورت زیر است:
   
   (x - ساعت) (x - k) = 0
   بنابراین دو عامل ما تبدیل می شوند:
   
   (x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

نکات

• اگر چند جمله ای را با فرمول abc فاکتور کرده اید و پاسخ شما حاوی ریشه است ، می توانید مقادیر x را به کسر تبدیل کنید تا آنها را بررسی کنید.
• اگر یک اصطلاح قبل از خود ضریبی نداشته باشد ، ضریب آن برابر با 1 است ، به عنوان مثال x = 1x.
• اگر ماشین حساب TI-84 دارید ، برنامه ای به نام SOLVER وجود دارد که می تواند معادله درجه دوم را برای شما حل کند. همچنین چند جمله ای های درجه بالاتر را نیز حل می کند.
• بعد از تمرین زیاد ، سرانجام قادر خواهید بود که چند جمله ای را به صورت قلبی حل کنید. اما برای اطمینان بیشتر بهتر است که همیشه آنها را بنویسید.
• اگر اصطلاحی وجود نداشته باشد ، ضریب صفر است. سپس می توان معادله را دوباره نوشت. به عنوان مثال. x + 6 = x + 0x + 6.

هشدارها

• اگر این مفهوم را در کلاس ریاضی یاد می گیرید ، به آنچه معلم توضیح می دهد توجه کنید و فقط از روش مورد علاقه خود استفاده نکنید. ممکن است از شما خواسته شود که روش خاصی را برای آزمون استفاده کنید ، در غیر اینصورت ماشین حسابهای نمودار مجاز نیستند.

ضروریات

• مداد
• کاغذ
• معادله درجه دوم (معادله درجه دوم نیز نامیده می شود)
• ماشین حساب نمودار (اختیاری)