محتوا

• گام برداشتن
• نکات

به عنوان یک نمودار یک معادله درجه دوم را ببینید تبر + bx + c ، همچنین که به صورت نوشته شده است a (x - h) + k، مانند یک منحنی صاف به شکل U به نظر می رسد. ما به این یکی می گوییم سهموی. نمودار کردن یک معادله درجه دوم شامل یافتن راس ، جهت و اغلب نقاط تلاقی با محور x و محور y است. در مورد معادله درجه دوم نسبتاً ساده ، همچنین ممکن است برای نشان دادن این نقاط در سیستم مختصات ، مقادیری برای x وارد کنید که بعد از آن می توان سهمی را ترسیم کرد. برای شروع به مرحله 1 ادامه دهید.

گام برداشتن

1. مشخص کنید چه نوع معادله درجه دو دارید. می توان آن را به دو روش نوشت: علامت استاندارد و علامت راس (روش دیگری برای نوشتن فرمول ریشه مربع). برای ایجاد نمودار معادله درجه دوم می توانید از هر دو استفاده کنید ، اما روند کار در هر مورد کمی متفاوت است. بیشتر اوقات با شکل استاندارد روبرو خواهید شد ، اما قطعاً یادگیری استفاده از هر دو شکل ضرری ندارد. دو شکل معادله درجه دوم عبارتند از:
   • شکل استاندارد معادله درجه دوم به این صورت ذکر شده است: f (x) = ax + bx + c که a ، b و c اعداد واقعی هستند و a برابر با صفر نیست.
     • دو نمونه از معادلات درجه دوم استاندارد: f (x) = x + 2x + 1 و f (x) = 9x + 10x -8.
   • شکل راس. معادله درجه دوم به این صورت ذکر می شود: f (x) = a (x - h) + k که a ، h و k اعداد واقعی هستند و a برابر با صفر نیست. این شکل راس نامیده می شود زیرا h و k مستقیماً به بالای سهمی شما در نقطه (h ، k) اشاره می کنند.
     • دو نمونه از معادلات شکل راس f (x) = 9 (x - 4) + 18 و -3 (x - 5) + 1 هستند
   • برای ایجاد نمودار از این معادلات ، ابتدا بالای (h ، k) نمودار را تعیین می کنیم. در معادله استاندارد این را پیدا خواهید کرد: h = -b / 2a و k = f (h) ، در حالی که این داده شده است در حال حاضر به صورت راس داده می شود زیرا h و k در معادله رخ می دهد.
2. متغیرهای خود را تعیین کنید. برای حل معادله درجه دوم معمولاً تعیین متغیرهای a ، b و c (یا a ، h و k) ضروری است. یک تمرین منظم معادله درجه دو را در فرم استاندارد به شما می دهد ، اما علامت گذاری راس نیز ممکن است رخ دهد.
   • به عنوان مثال: تابع استاندارد f (x) = 2x + 16x + 39. در اینجا a = 2 ، b = 16 و c = 39 داریم.
   • در نماد راس: f (x) = 4 (x - 5) + 12. در اینجا ما = 4 ، h = 5 و k = 12 داریم.
3. ساعت را محاسبه کنید. در نماد راس ، مقدار h قبلاً داده شده است ، اما در علامت استاندارد این مقدار هنوز محاسبه نشده است. به یاد داشته باشید که با معادله استاندارد: h = -b / 2a.
   • مثال 1. (f (x) = 2x + 16x + 39) ، h = -b / 2a = -16/2 (2). با حل این مسئله می بینیم که h = -4.
   • مثال 2. (f (x) = 4 (x - 5) + 12) ، بلافاصله می بینیم که h = 5.
4. k را محاسبه کنید. همانند h ، از قبل معادلات فرم راس شناخته شده است. برای معادلات در علامت گذاری استاندارد ، به یاد داشته باشید که k = f (h). به عبارت دیگر ، می توانید k را با جایگزینی هر متغیر x با مقدار h پیدا کنید.
   • برای مثال 1 دیده ایم که h = -4. برای یافتن k ، این معادله را با پر کردن این مقدار h در معادله ، برای متغیر x حل می کنیم:
     • k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.
     • k = 2 (16) - 64 + 39.
     • k = 32 - 64 + 39 = 7
   • از مثال 2 می دانیم که مقدار k برابر با 12 است ، بدون اینکه نیازی به هیچ گونه محاسبه ای باشد.
5. بالا یا پایین نمودار را بکشید. اوج یا دره سهمی شما نقطه (h ، k) است - h مخفف مختصات x و k مخفف مختصات y است. راس مرکز سهموی شماست - بالاترین یا پایین ترین نقطه ، راس یا دره ، یک نمودار به شکل "U" یا بالعکس.توانایی تعیین قسمت بالای یک سهمی اساسی یک قسمت اساسی در ترسیم نمودار صحیح است - اغلب تعیین بالای یک سهمی بخشی از یک مسئله ریاضی در مدرسه است.
   • در مثال 1 ، بالای نمودار (-4.7) است. نقطه را روی نمودار خود رسم کنید و مطمئن شوید مختصات را به درستی نامگذاری کرده اید.
   • در مثال 2 ، بالا (5.12) است. بنابراین از نقطه (0،0) 5 مکان به سمت راست و سپس 12 بالا می روید.
6. در صورت لزوم ، محور تقارن سهمی را رسم کنید. محور تقارن سهمی ، خطی است که شکل را در وسط قطع می کند و آن را دقیقاً به نصف تقسیم می کند. یک طرف نمودار در امتداد این خط در طرف دیگر نمودار منعکس شده است. در معادلات درجه دوم ax یا bx + c یا a (x - h) + k ، این محور خط موازی محور y است که از راس سهموی عبور می کند.
   • در مورد مثال 1 ، محور تقارن خط موازی محور y است و از نقطه عبور می کند (-4،7). اگرچه خود بخشی از سهمی نیست ، اما برجسته ساختن این راهنما می تواند به شما نشان دهد که منحنی سهمی تا چه اندازه متقارن است.
7. جهت سهمی را تعیین کنید. بعد از اینکه فهمیدید که بالای سهموی چیست ، لازم است بدانید که شما با کوه یا پارابولای دره روبرو هستید ، یعنی آیا دهانه در پایین است یا در بالا. خوشبختانه ، این بسیار آسان است. اگر "a" مثبت باشد ، شما با یک سهمی دره روبرو هستید. اگر "a" منفی باشد ، یک سهمی کوهستانی است (با دهانه در پایین)
   • در مثال 1 ما با تابع (f (x) = 2x + 16x + 39) سر و کار داریم ، بنابراین این یک پارابولای دره است ، زیرا a = 2 (مثبت).
   • در مثال 2 ما با تابع f (x) = 4 (x - 5) + 12) سر و کار داریم ، و این نیز یک برهم خوردگی دره است زیرا a = 4 (مثبت).
8. در صورت لزوم نقاط تقاطع سهمی را تعیین کنید. غالباً وقتی از یک مسئله ریاضی خواسته می شود محل تلاقی های سهمی با محور x باشد (اینها "صفر" هستند ، آ یا دو نقاطی را که پارابلا با محور x قطع می شود یا می زند). حتی در صورت عدم درخواست ، این نکات از اهمیت بالایی برخوردار هستند تا بتوان نمودار دقیقی ترسیم کرد. اما همه سهمی ها با محور x تلاقی ندارند. اگر با یک سهمی دره روبرو هستید و نقطه دره بالای محور x است یا در مورد یک سهمی کوهی ، درست زیر محور x ، در اینجا هیچ نقطه تلاقی وجود ندارد. در این صورت ، از یکی از روش های زیر استفاده کنید:
   • f (x) = 0 را تعیین کنید و معادله را حل کنید. این روش ممکن است برای معادلات درجه دوم ساده ، به ویژه در شکل راس ، کار کند ، اما متوجه می شوید که با پیچیدگی بیشتر توابع ، این مسئله دشوارتر می شود. در زیر چند نمونه آورده شده است.
     • f (x) = 4 (x - 12)
     • 0 = 4 (x - 12) - 4
     • 4 = 4 (x - 12)
     • 1 = (x - 12)
     • SqRt (1) = (x - 12)
     • +/- 1 = x -12. x = 11 و 13 نقاط تقاطع با محور x سهمی هستند.
   • معادله فاکتور. بعضی از معادلات به صورت ax + bx + c را می توان به راحتی به صورت (dx + e) ​​(fx + g) بازنویسی کرد ، جایی که dx × fx = ax ، (dx × g + fx × e) = bx و e × g = c در این حالت ، تقاطع x مقادیر x است که هر اصطلاح درون پرانتز برابر با 0 می شود. به عنوان مثال:
     • x + 2x + 1
     • = (x + 1) (x + 1)
     • در این حالت ، نقطه تقاطع -1 است زیرا در هر دو فاکتور وارد می شود ، این صفر می دهد.
   • از فرمول abc استفاده کنید. اگر تشخیص تقاطع ها یا فاکتور بندی معادله آسان نیست ، به طور خاص برای این منظور از "فرمول abc" استفاده کنید. یک معادله را به شکل ax + bx + c در نظر بگیرید. سپس مقادیر a ، b و c را در فرمول x = (-b +/- SqRt (b - 4ac)) / 2a وارد کنید. توجه داشته باشید که این اغلب به شما دو جواب برای x می دهد ، که خوب است - این بدان معنی است که سهمی با دو محور تقاطع با محور x دارد. مثالی در اینجا آورده شده است:
     • -5x + 1x + 10 را در معادله به روش زیر وارد کنید:
     • x = (-1 +/- SqRt (1 - 4 (-5) (10))) / 2 (-5)
     • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200)) / - 10
     • x = (-1 +/- SqRt (201)) / - 10
     • x = (-1 +/- 14.18) / - 10
     • x = (13.18 / -10) و (-15.18 / -10). نقاط تلاقی سهمی با محور x تقریباً x = است -1,318 و 1,518
     • مانند مثال 1 با معادله 2x + 16x + 39 ، این به صورت زیر خواهد بود:
     • x = (-16 +/- SqRt (16 - 4 (2) (39))) / 2 (2)
     • x = (-16 +/- SqRt (256 - 312)) / 4
     • x = (-16 +/- SqRt (-56) / - 10
     • از آنجا که یافتن ریشه مربع یک عدد منفی امکان پذیر نیست ، می دانیم که هیچ نقطه تلاقی با محور x برای این سهمی خاص وجود ندارد.
9. در صورت لزوم ، تقاطع سهمی با محور y را تعیین کنید. یافتن این تقاطع اغلب ضروری نیست ، اما گاهی اوقات لازم است ، به عنوان مثال برای یک مسئله ریاضی. این نسبتاً آسان است - مقدار x را روی 0 تنظیم کنید و معادله f (x) یا y را حل کنید ، که مقدار y را از نقطه تلاقی سهموی با محور y به شما می دهد. تفاوت با نقاط تقاطع از طریق محور x این است که در محور y همیشه فقط یک نقطه تقاطع وجود دارد. توجه - با معادلات استاندارد ، تقاطع با محور y در y = c است.
   • به عنوان مثال ، ما می دانیم که معادله درجه 2x + 16x + 39 دارای تقاطع y = 39 است ، اما همچنین می توانیم این را به صورت زیر پیدا کنیم:
     • f (x) = 2x + 16x + 39
     • f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39
     • f (x) = 39. تقاطع سهمی با محور y: y = 39. همانطور که در بالا نشان داده شد ، ما به راحتی می توانیم نقطه تقاطع را بخوانیم زیرا y = c.
   • معادله 4 (x - 5) + 12 دارای یک تقاطع با محور y است که به شرح زیر یافت می شود:
     • f (x) = 4 (x - 5) + 12
     • f (x) = 4 (0 - 5) + 12
     • f (x) = 4 (-5) + 12
     • f (x) = 4 (25) + 12
     • f (x) = 112. تقاطع با محور y: y = 112.
10. اگر فکر می کنید این کار ضروری است ، ابتدا امتیاز اضافی و سپس کل نمودار رسم کنید. اکنون باید یک محور یا یک دره ، جهت ، نقاط تلاقی با محور x و احتمالاً با محور y معادله خود داشته باشید. از این مرحله می توانید با استفاده از این نقاط سهمی را ترسیم کنید یا می توانید نقاط بیشتری پیدا کنید تا نمودار دقیق تر شود. ساده ترین راه برای این کار به سادگی وارد کردن تعدادی از مقادیر x است که تعدادی از مقادیر y را برمی گرداند. قبل از شروع ترسیم سه گانه ، اغلب از شما خواسته می شود (توسط معلم) تعدادی امتیاز را محاسبه کنید.
    • بیایید نگاهی دوباره به معادله x + 2x + 1 بیندازیم. ما قبلاً می دانیم که تنها تقاطع با محور x (-1،0) است. از آنجا که در این نقطه فقط محور x را لمس می کند ، می توان نتیجه گرفت که بالای نمودار با این نقطه برابر است. تاکنون فقط یک نکته از این سهمی را داریم - که تقریباً برای ترسیم نمودار کافی نیست. بیایید چند نکته دیگر پیدا کنیم تا مطمئن شویم که مقادیر بیشتری داریم.
      • بیایید سعی کنیم مقادیر y را پیدا کنیم که با مقادیر x زیر مطابقت داشته باشد: 0 ، 1 ، -2 و -3.
      • x = 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. سپس نقطه (0,1).
      • x = 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. سپس نقطه (1,4).
      • x = -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. سپس نقطه (-2,1).
      • x = -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. سپس نقطه (-3,4).
      • این نقاط را در نمودار قرار داده و سهموی خود را رسم کنید. توجه داشته باشید که سهمی کاملاً متقارن است - اگر نقاط یک طرف نمودار را می دانید ، معمولاً با استفاده از این نقاط می توانید در کار خود صرفه جویی کنید و نقاط طرف دیگر تقارن را پیدا کنید.

نکات

• در صورت لزوم ، اعداد را گرد کنید یا از کسر استفاده کنید. این می تواند به نمایش صحیح نمودار کمک کند.
• توجه داشته باشید که اگر برای تابع f (x) = ax + bx + c ، b یا c برابر با صفر باشند ، این اصطلاحات از بین می روند. به عنوان مثال ، 12x + 0x + 6 برابر با 12x + 6 می شود زیرا 0x برابر 0 است.