محتوا

• گام برداشتن
• قسمت 1 از 3: انجام یک تکلیف مثال
• قسمت 2 از 3: پیدا کردن ریشه مکعب با تخمین مکرر
• نکات
• هشدارها
• ضروریات

با استفاده از ماشین حساب ، محاسبه ریشه مکعب هر تعداد چیزی بیشتر از فشار دادن چند کلید نیست. اما شاید شما یک ماشین حساب ندارید یا می خواهید دوستان خود را تحت تأثیر توانایی خود برای کار کردن با ریشه مکعب به صورت آزاد تحت تأثیر قرار دهید. روشی وجود دارد که در نگاه اول کمی سخت به نظر می رسد اما با کمی تمرین بسیار ساده کار می کند. داشتن مقداری دانش آماده در زمینه مهارت های حساب و محاسبه اعداد مکعب مفید است.

گام برداشتن

قسمت 1 از 3: انجام یک تکلیف مثال

1. مسئله را ترسیم کنید. حل ریشه مکعب یک عدد مانند حل یک تقسیم طولانی به نظر می رسد ، با تفاوت هایی در اینجا و آنجا. اولین قدم نوشتن صحیح عبارت است.
   • عددی را که می خواهید ریشه مکعب را برای آن تعیین کنید ، یادداشت کنید. اعداد را در گروه های سه تایی بنویسید ، و نقطه ویرگول نقطه شروع باشد. در این مثال ، شما می خواهید ریشه مکعب 10 را تعیین کنید. این را به صورت 10.000000 بنویسید. برای صحت پاسخ صفر لازم است.
   • یک ریشه مربع مکعب روی عدد بکشید. این همان هدف خط تقسیم طولانی را دارد. تنها تفاوت در شکل نماد است.
   • یک ویرگول بالای خط ، مستقیماً بالای کاما در شماره اصلی قرار دهید.
2. مکعب واحدها را بشناسید. شما می خواهید از این موارد در محاسبات خود استفاده کنید. این مربوط به قدرت های سوم زیر است:
   • ${ displaystyle 1 ^ {3} = 1 * 1 * 1 = 1}$رقم اول پاسخ خود را تعیین کنید. عددی را انتخاب کنید که به مکعب ، بیشترین نتیجه ممکن را می دهد که کمتر از مجموعه اول سه عددی است.
     • در این مثال ، اولین مجموعه از سه عدد ضرب شده برابر با 10 است. بزرگترین مکعبی را که کمتر از 10 است پیدا کنید. این 8 است ، و ریشه مکعب آن 2 است.
     • عدد 2 را بالای ریشه مربع ، بالاتر از عدد 10 بنویسید و مقدار را بنویسید ${ displaystyle 2 ^ {3}}$تنظیم رقم بعدی را انجام دهید. گروه بعدی از سه عدد را در بقیه بنویسید و یک خط عمودی کوتاه در سمت چپ عدد حاصل بکشید. این عددی است که ما برای تعیین رقم بعدی در محلول ریشه مکعب شما استفاده می کنیم. در این مثال ، این 2000 می شود ، که از 2 باقی مانده حاصل از جمع تفریق قبلی و با گروه سه صفر که ایجاد کردید ، ایجاد می شود.
       • در سمت چپ خط عمودی ، حل تقسیم کننده بعدی را به صورت جمع سه عدد جداگانه بنویسید. با زیر خط کشیدن سه نقطه خالی با علامت های اضافی ، فضای خالی این اعداد را مشخص کنید.
     • شروع مقسوم علیه بعدی را پیدا کنید. برای قسمت اول مقسوم علیه ، سه صد برابر مربع از هر چیزی که بالای علامت ریشه مربع است ، بنویسید. در این حالت 2 است. 2 ^ 2 4 و 4 * 300 = 1200 است. بنابراین در اولین فضای خالی 1200 خود را بنویسید. تقسیم کننده برای این مرحله از راه حل 1200 می شود ، به علاوه چیز دیگری که در یک لحظه محاسبه خواهید کرد.
     • عدد بعدی را در ریشه مکعب خود پیدا کنید. رقم بعدی راه حل خود را با انتخاب آنچه می توانید در تقسیم کننده تقسیم کنید (1200 چیز دیگر) پیدا کنید و سپس آن را از باقی مانده 2000 کم کنید. این فقط می تواند 1 باشد ، زیرا 2 برابر 1200 برابر با 2400 است ، که بزرگتر از 2000 است عدد 1 را در فضای بعدی بالاتر از علامت ریشه مربع بنویسید.
     • باقیمانده مقسوم علیه را پیدا کنید. تقسیم کننده در این مرحله از راه حل شامل سه قسمت است. اولین قسمت 1200 شما است. اکنون برای تکمیل مقسوم علیه باید دو اصطلاح دیگر اضافه کنید.
       • اکنون هر کدام از دو رقم را 3 برابر 10 برابر در محلول خود بالای علامت ریشه مربع محاسبه کنید. برای این تمرین ساده ، این بدان معنی است که 3 * 10 * 2 * 1 ، که برابر با 60 است. این را به 1200 مورد اضافه کرده و 1260 بدست آورید.
       • در آخر ، مربع آخرین رقم را اضافه کنید. در این مثال 1 است. و 1 ^ 2 هنوز 1 است. بنابراین تقسیم کننده کل 1200 + 60 + 1 یا 1261 است. این را در سمت چپ خط عمودی بنویسید.
     • ضرب و کم کنید. این قسمت از راه حل را با ضرب آخرین رقم محلول خود - در این مورد ، عدد 1 - ضرب کنید بر مقسمی که قبلاً محاسبه کرده اید (1261). 1 * 1261 = 1261. این را زیر 2000 بنویسید و 1261 را کم کنید تا 739 بدست آورید.
     • برای پاسخ دقیق تر تصمیم بگیرید بیشتر پیش بروید. پس از اتمام تفریق هر مرحله ، باید بررسی کنید که پاسخ شما به اندازه کافی دقیق است. برای ریشه مکعب 10 ، بعد از اولین منهای جمع ، ریشه مکعب فقط 2 بود ، که در واقع دقیق نیست. حال ، بعد از دور دوم ، راه حل 2.1 است.
       • با استفاده از مکعب می توانید دقت این نتیجه را بررسی کنید: 2.1 * 2.1 * 2.1. نتیجه 9.261 است.
       • اگر فکر می کنید نتیجه به اندازه کافی دقیق است ، می توانید متوقف شوید. اگر پاسخ دقیق تری می خواهید ، باید دور دیگری را طی کنید.
     • مقسوم علیه را برای دور بعدی تعیین کنید. در این حالت ، برای تمرین بیشتر و پاسخ دقیق تر ، مراحل را برای دور دیگر تکرار کنید ، به شرح زیر:
       • گروه بعدی را از سه عدد پایین بیاورید. در این حالت ، اینها سه صفر است که پس از 739 باقیمانده به وجود می آیند و 739000 را تشکیل می دهند.
       • مقسوم علیه را با 300 برابر مربع عددی که در حال حاضر بالای علامت ریشه مربع قرار دارد ، شروع کنید. این هست ${ displaystyle 300 * 21 ^ {2}}$مقسم را در نتیجه ضرب کنید. پس از محاسبه مقسم در این مرحله بعدی و گسترش راه حل خود با یک رقم دیگر ، به شرح زیر عمل کنید:
         • مقسوم علیه را در آخرین رقم حل خود ضرب کنید. 135،475 * 5 = 677،375.
         • کم کردن. 739،000-677،375 = 61،625.
         • در نظر بگیرید که آیا محلول 2.15 به اندازه کافی دقیق است یا خیر. مکعب آن را محاسبه کنید و بدست آورید ${ displaystyle 2.15 * 2.15 * 2.15 = 9.94}$پاسخ نهایی خود را بنویسید. نتیجه بالای ریشه مربع ، ریشه مکعب است ، با دقت سه رقم قابل توجه. در این مثال ، ریشه مکعب 10 برابر با 15/2 است. این را با محاسبه 2.15 ^ 3 = 9.94 که می تواند تا 10 جمع شود بررسی کنید. اگر به پاسخ دقیق تری نیاز دارید ، این کار را تا زمانی که راضی نباشید ادامه دهید.

قسمت 2 از 3: پیدا کردن ریشه مکعب با تخمین مکرر

1. برای تنظیم حد بالا و پایین از اعداد مکعبی استفاده کنید. هنگامی که از ریشه مکعب یک عدد مشخص خواسته شد ، بدون اینکه از عدد مورد نظر شما بزرگتر باشد ، مکعبی را انتخاب کنید که تا حد ممکن به آن نزدیک باشد.
   • به عنوان مثال ، اگر می خواهید ریشه مکعب 600 را پیدا کنید ، آن را بخاطر بسپارید (یا از مکعب مکعب استفاده کنید) ${ displaystyle 8 ^ {3} = 512}$رقم بعدی را تخمین بزنید. شما اولین رقم را از طریق شناخت خود از اعداد مکعبی خاص حذف می کنید. برای رقم بعدی ، بر اساس مکانی که شماره هدف شما بین دو عدد محدود قرار می گیرد ، عددی را بین 0 تا 9 تخمین بزنید.
     • در مثال مثال ، 600 (تعداد هدف شما) تقریباً در نیمه راه بین تعداد محدود 512 و 729 قرار می گیرد ، بنابراین شما 5 را به عنوان شماره بعدی خود انتخاب می کنید.
   • تخمین خود را با تعیین مکعب آن آزمایش کنید. سعی کنید برآوردی را که در حال حاضر با آن کار می کنید ضرب کنید تا بفهمید چقدر به عدد مورد نظر نزدیک هستید.
     • در این مثال ، شما در حال ضرب هستید ${ displaystyle 8.5 * 8.5 * 8.5 = 614.1.}$برآورد خود را در صورت لزوم تنظیم کنید. پس از بالا بردن مکعب آخرین حدس خود ، نتیجه را با شماره هدف خود بررسی کنید. اگر نتیجه بیشتر از هدف باشد ، تخمین شما باید کوچکتر باشد. اگر نتیجه از هدف کمتر است ، باید آن را به سمت بالا تنظیم کنید تا به هدف برسید.
       • به عنوان مثال ، در این بیانیه ${ displaystyle 8.5 ^ {3}}$رقم بعدی را برای پاسخ دقیق تر تخمین بزنید. این روش تخمین اعداد را از 0 تا 9 ادامه دهید تا جواب شما به همان اندازه که می خواهید دقیق باشد. قبل از هر دور برآورد ، شما با بررسی موقعیت آخرین محاسبه خود بین اعداد مرزی شروع می کنید.
         • در این مثال تمرین ، آخرین دور محاسبات شما این را نشان می دهد ${ displaystyle 8.4 ^ {3} = 592.7}$تخمین و تنظیم را ادامه دهید. این کار را چند بار انجام دهید ، حدس خود را به قدرت مکعب برسانید و ببینید که چگونه با عدد مورد نظر مقایسه می شود. به دنبال اعدادی باشید که دقیقاً زیر یا دقیقاً بالاتر از شماره مورد نظر باشند.
           • برای این نمونه تمرین ، با ذکر این نکته شروع خواهید کرد ${ displaystyle 8.44 * 8.44 * 8.44 = 601.2}$ادامه دهید تا به دقت مورد نظر برسید. تا زمانی که راه حل شما به همان اندازه که می خواهید دقیق باشد ، تخمین ، مقایسه و برآورد مجدد را ادامه دهید. توجه داشته باشید که با هر رقم اعشاری ، تعداد هدف شما بیشتر و بیشتر به عدد واقعی نزدیک می شود.
             • برای ریشه مکعب 600 ، با فرض دو عدد اعشاری ، شما با 8.43 کمتر از 1 هدف فاصله دارید. اگر به سه رقم اعشار ادامه دهید ، آن را خواهید دید ${ displaystyle 8.434 ^ {3} = 599.93}$Binomium نیوتن را مرور کنید. برای فهمیدن اینکه چرا این الگوریتم برای تعیین ریشه مکعب کار می کند ، ابتدا باید به شکل دوجمله ای به نظر برسید. این را احتمالاً در ریاضیات دبیرستان آموخته اید (و مانند اکثر مردم ، احتمالاً خیلی سریع این موضوع را فراموش کرده اید). دو متغیر را انتخاب کنید ${ displaystyle A}$دو جمله ای را به صورت مکعب بنویسید. ما اکنون با تعیین مکعب و سپس بررسی دلیل عملکرد محلول ریشه مکعب ، به عقب کار می کنیم. ما به مقادیر ${ displaystyle (10A + B) ^ {3}}$معنی تقسیم طولانی را بدانید. توجه داشته باشید که روش ریشه مکعب درست مانند تقسیم طولانی عمل می کند. در تقسیم طولانی می بینید که دو عامل ضرب در هم ، عددی را که با آن شروع کرده اید می دهد. در این محاسبه ، عددی که به دنبال آن هستید (عددی که در نهایت بالای ریشه مربع ظاهر می شود) ریشه مکعب است. این بدان معناست که برابر است با اصطلاح (10A + B). A و B واقعی اکنون بی ربط هستند ، به شرطی که رابطه را با جواب درک کنید.
             • مشاهده نسخه توسعه یافته وقتی به Binomium نیوتن نگاه می کنید ، می توانید دلیل صحیح الگوریتم ریشه مکعب را ببینید. ببینید چگونه مقسوم علیه در هر مرحله از الگوریتم برابر است با مجموع چهار اصطلاحی که برای محاسبه و اضافه کردن نیاز دارید. این اصطلاحات به شرح زیر بوجود می آیند:
               • اصطلاح اول شامل مضربی از 1000 است. شما ابتدا عددی را انتخاب می کنید که می تواند به مکعب برسد و همچنان به عنوان اولین عدد در محدوده تقسیم طولانی باقی بماند. این اصطلاح 1000A ^ 3 را در دوجمله می دهد.
               • اصطلاح دومین دو جمله ای نیوتن دارای 300 ضریب است. (این از ${ displaystyle 3 * 10 ^ {2}}$دقت تماشا رشد می کند. هنگام انجام تقسیم طولانی ، هر مرحله را که طی می کنید ، دقت زیادی به پاسخ شما می دهد. به عنوان مثال ، مسئله مثالی که در این مقاله کار شده است برای تعیین ریشه مکعب 10 است. در مرحله اول ، راه حل 2 است ، زیرا ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ نزدیک می شود ، اما کمتر از 10 است. در واقع ، آن را نگه می دارد ${ displaystyle 2 ^ {3} = 8}$. بعد از دور دوم ، راه حل شما 2.1 است. هنگامی که این کار را انجام دادید ، به دست خواهید آورد ${ displaystyle 2.1 ^ {3} = 9،261}$، که بسیار نزدیکتر به نتیجه مطلوب است (10). بعد از دور سوم ، شما 2.15 دارید که به شما می دهد ${ displaystyle 2.15 ^ {3} = 9.94}$. به کار در گروه های سه رقمی ادامه دهید و به همان اندازه که می خواهید پاسخی دقیق خواهید گرفت.

نکات

• مانند هر چیز دیگری ، مهارت های ریاضی شما با تمرین بهبود می یابد. هرچه بیشتر تمرین کنید ، بهتر قادر به انجام این نوع محاسبات خواهید بود.

هشدارها

• اشتباه با این کار آسان است. کار خود را با دقت بررسی کنید و دوباره جزئیات را مرور کنید.

ضروریات

• قلم یا مداد
• کاغذ
• خط كش
• پاک کن