محتوا

• گام برداشتن
• روش 1 از 3: اولین کار ساده
• روش 2 از 3: محاسبه مقدار مورد انتظار برای یک نتیجه خاص
• روش 3 از 3: مفهوم را درک کنید
• نکات
• ضروریات

مقدار انتظار یک اصطلاح آماری است و مفهومی برای تصمیم گیری در مورد مفید یا مضر بودن یک عمل به کار می رود. برای محاسبه مقدار مورد انتظار ، لازم است که درک خوبی از هر نتیجه در یک موقعیت خاص و احتمال مرتبط یا احتمال وقوع یک نتیجه خاص داشته باشید. مراحل زیر چند تمرین مثال برای کمک به شما در درک مفهوم ارزش انتظار ارائه می دهد.

گام برداشتن

روش 1 از 3: اولین کار ساده

1. بیانیه را بخوانید قبل از اینکه به همه نتایج و احتمالات احتمالی فکر کنید ، مهم است که مشکل را درک کنید. به عنوان مثال یک بازی تاس که هزینه آن 10 یورو برای هر بازی است. یک قالب شش ضلعی یک بار نورد می شود و برنده های شما به تعداد شما بستگی دارد. اگر یک عدد 6 رول شود ، 30 یورو برنده خواهید شد. یک 5 20 یورو درآمد دارد؛ هر عدد دیگری هیچ نتیجه ای ندارد.
2. همه نتایج احتمالی را لیست کنید. این کمک می کند تا در یک نتیجه مشخص همه نتایج احتمالی را فهرست کنید. در مثال بالا ، 6 نتیجه ممکن وجود دارد. اینها عبارتند از: (1) رول 1 و 10 دلار ضرر می کنید ، (2) رول 2 و 10 دلار ضرر می کنید ، (3) رول 3 و 10 دلار ضرر می کنید ، (4) رول 4 و 10 دلار ضرر می کنید ، (5) 5 رول کنید و 10 دلار برنده شوید ، (6) 6 رول کنید و 20 دلار برنده شوید.
   • توجه داشته باشید که هر نتیجه 10 یورو کمتر از آنچه در بالا توضیح داده شد است ، زیرا شما در هر بازی بدون توجه به نتیجه ، ابتدا باید 10 یورو بپردازید.
3. احتمال هر نتیجه را تعیین کنید. در این حالت ، احتمال هر 6 نتیجه یکسان است. احتمال غلت خوردن یک عدد تصادفی 1 در 6 است. برای آسان تر نوشتن ، کسر (6/1) را با استفاده از یک ماشین حساب به صورت اعشاری می نویسیم: 0.167. این احتمال را در کنار هر نتیجه بنویسید ، مخصوصاً اگر می خواهید برای هر نتیجه مسئله ای با احتمالات مختلف حل کنید.
   • ماشین حساب 1/6 شما ممکن است چیزی در حدود 0.166667 بدست آورد. ما این محاسبه را به 0.167 می رسانیم تا محاسبه آن بدون کاهش دقت انجام شود.
   • اگر یک نتیجه بسیار دقیق می خواهید ، آن را اعشاری قرار ندهید ، فقط 1/6 را وارد فرمول کرده و آن را روی ماشین حساب خود محاسبه کنید.
4. مقدار هر نتیجه را ثبت کنید. ضریب $ یک نتیجه را در احتمال وقوع نتیجه برای محاسبه مقدار پولی که در نتیجه به ارزش مورد انتظار کمک می کند ضرب کنید. به عنوان مثال ، نتیجه نورد 1 - 10 دلار و احتمال نورد 1 1 ، 167/0 است. بنابراین مقدار انداختن یک 1 (-10) * (0.167) است.
   • اگر ماشین حساب دارید که می تواند همزمان چندین عملیات را انجام دهد ، دیگر نیازی به محاسبه این نتایج نیست. اگر کل معادله را وارد کنید نتیجه دقیق تری خواهید گرفت.
5. مقدار هر نتیجه را اضافه کنید تا مقدار مورد انتظار یک رویداد را بدست آورید. برای ادامه مثال بالا ، مقدار انتظار بازی تاس: (-10 * 0.167) + (-10 * 0.167) + (-10 * 0.167) + (-10 * 0.167) + (10 * 0.167) + (20 * 0.167) ، یا - 1.67 یورو. بنابراین می توانید انتظار داشته باشید که هر بار در این بازی (هر بازی) 1.67 دلار ضرر کنید.
6. پیامدهای محاسبه مقدار مورد انتظار چیست؟ در مثال بالا ، ما تعیین کردیم که سود (ضرر) پیش بینی شده - 1.67 یورو برای هر پرتاب است. این یک نتیجه غیرممکن برای 1 بازی است. می توانید 10 یورو ضرر کنید ، 10 یورو برنده شوید یا 20 یورو برنده شوید. اما در طولانی مدت ، مقدار مورد انتظار یک احتمال متوسط ​​و مفید است. اگر این بازی را ادامه دهید ، به طور متوسط ​​در هر بازی 1.67 دلار ضرر می کنید. روش دیگر برای فکر کردن در مورد مقدار مورد انتظار ، اختصاص دادن هزینه های خاص (یا منافع) به بازی است. شما فقط باید این بازی را انجام دهید اگر ارزش آن را پیدا کردید ، از آن لذت ببرید و هر بار 1.67 دلار برای آن هزینه کنید.
   • هرچه وضعیت بیشتر تکرار شود ، مقدار مورد انتظار با دقت بیشتری نمایانگر نتیجه واقعی و متوسط ​​است. به عنوان مثال ، شاید شما 5 بار پشت سر هم بازی را انجام دهید و هر بار ضرر کنید ، و در نتیجه 10 دلار ضرر کنید. با این حال ، اگر 1000 بار دیگر بازی را انجام دهید ، میانگین نتیجه به مقدار مورد انتظار - 1.67 یورو در هر بازی نزدیکتر و نزدیکتر خواهد شد. این اصل "قانون اعداد بزرگ" نامیده می شود.

روش 2 از 3: محاسبه مقدار مورد انتظار برای یک نتیجه خاص

1. از این روش برای محاسبه میانگین تعداد سکه هایی که باید قبل از ایجاد یک الگوی خاص دور بزنید ، محاسبه کنید. به عنوان مثال ، می توانید با استفاده از روش ، تعداد سکه های مورد انتظار برای تلنگر را دریابید تا زمانی که دو بار متوالی سر داشته باشید. این مشکل نسبت به یک مشکل استاندارد در مورد مقادیر انتظار کمی پیچیده تر است ، بنابراین اگر با مفهوم ارزش انتظار آشنا نیستید ابتدا قسمت فوقانی این مقاله را بخوانید.
2. فرض کنید ما به دنبال مقدار x هستیم. شما سعی دارید تعیین کنید که برای بدست آوردن دو سر پشت سر هم به طور متوسط ​​چند سکه باید تلنگر بزنید. اکنون برای یافتن پاسخ مقایسه ای انجام می دهیم. ما پاسخی را که به دنبال آن هستیم x می نامیم. مرحله به مرحله مقایسه لازم را انجام می دهیم. در حال حاضر موارد زیر را داریم:
   • x = ___
3. به این فکر کنید که اگر اولین تلنگر سکه تولید کند چه اتفاقی می افتد. در نیمی از موارد اینگونه خواهد بود. اگر این مورد باشد ، شما یک رول را "هدر داده اید" ، در حالی که شانس دو بار متوالی چرخاندن یک سر تغییر نکرده است. همانند پرتاب سکه ، پیش بینی می شود که شما باید قبل از اینکه دو بار پشت سر هم یک ضربه بزنید ، به طور متوسط ​​چند بار پرتاب کنید. به عبارت دیگر ، شما انتظار دارید که تعداد x های خود را بچرخانید ، به علاوه مواردی که قبلاً بازی کرده اید. در قالب یک معادله:
   • x = (0.5) (x + 1) + ___
   • ما همچنان که به موقعیت های دیگر فکر می کنیم ، قرار است فضای خالی را پر کنیم.
   • اگر آسان تر یا ضروری باشد می توانید از کسرها به جای اعشار استفاده کنید.
4. به این فکر کنید که وقتی سرتان را پرتاب می کنید چه اتفاقی می افتد. 0.5 (یا 1/2) احتمال دارد که بار اول یک فنجان بریزید. به نظر می رسد این مسئله به هدف پرتاب یک سر دو بار متوالی نزدیکتر می شود ، اما چقدر؟ ساده ترین راه برای فهمیدن این است که به گزینه های خود در حلقه دوم فکر کنید:
   • اگر پرتاب دوم یک سکه باشد ، ما به ابتدا برمی گردیم.
   • اگر بار دوم هم یک فنجان باشد ، کار ما تمام شد!
5. بیاموزید که چگونه احتمال وقوع هر دو رویداد را محاسبه کنید. اکنون می دانیم که شما 50 درصد شانس پرتاب یک فنجان را دارید ، اما این که دو بار پشت سر هم یک فنجان پرتاب کنید چقدر است؟ برای محاسبه این احتمال ، احتمال هر دو را ضرب کنید. در این حالت 0.5 0.5 0.5 = 0.25 است. البته ، این همچنین فرصتی است که می توانید سر و سپس دم بچرخانید ، زیرا هر دو احتمال 0.5 دارند: 0.5 0.5 0.5 = 0.25.
6. نتیجه را برای "سر ، سپس دم" به معادله اضافه کنید. اکنون که احتمال وقوع این رویداد را محاسبه کردیم ، می توانیم به سراغ گسترش معادله برویم. یک احتمال 0.25 (یا 1/4) وجود دارد که ما دو بار پرتاب را بدون حرکت به جلو هدر می دهیم. اما اکنون ما به طور متوسط ​​به عدد x پرتاب بیشتر نیاز داریم تا نتیجه ای را که می خواهیم بگیریم ، به اضافه 2 موردی که قبلاً انداخته ایم. در فرم معادله ، این (0.25) (x + 2) می شود ، که اکنون می توانیم آن را به معادله اضافه کنیم:
   • x = (0.5) (x + 1) + (0.25) (x + 2) + ___
7. نتیجه را برای "عنوان ، عنوان" به معادله اضافه کنید. اگر سرتان را دور بزنید ، با دو پرتاب اول سکه سر بزنید ، کار شما تمام است. دقیقاً در 2 پرتاب نتیجه گرفتید. همانطور که قبلاً اشاره کردیم ، احتمال وقوع 0.25 وجود دارد ، بنابراین معادله (0.25) (2) است. مقایسه ما اکنون کامل است:
   • x = (0.5) (x + 1) + (0.25) (x + 2) + (0.25) (2)
   • اگر مطمئن نیستید که در هر شرایط ممکن فکر کرده اید ، راهی آسان برای بررسی کامل بودن معادله وجود دارد. اولین عدد در هر قسمت از معادله احتمال وقوع یک واقعه را نشان می دهد. این مقدار همیشه به 1 اضافه می شود. در اینجا ، 0.5 + 0.25 + 0.25 = 1 ، بنابراین می دانیم که همه شرایط را شامل می شویم.
8. معادله را ساده کنید. بیایید با ضرب معادله را کمی آسان کنیم. به یاد داشته باشید ، اگر چنین چیزی را در پرانتز مشاهده کردید: (0.5) (x + 1) ، پس 0.5 را در هر اصطلاح که در مجموعه دوم پرانتز است ضرب می کنید. این موارد زیر را به شما می دهد: 0.5x + (0.5) (1) یا 0.5x + 0.5. بیایید این کار را برای هر اصطلاح در معادله انجام دهیم ، سپس این اصطلاحات را با هم ترکیب کنیم تا همه چیز کمی ساده تر به نظر برسد:
   • x = 0.5x + (0.5) (1) + 0.25x + (0.25) (2) + (0.25) (2)
   • x = 0.5x + 0.5 + 0.25x + 0.5 + 0.5
   • x = 0.75x + 1.5
9. برای x حل کنید. برای محاسبه همانند هر معادله ای ، باید x را در یک طرف معادله جدا کنید. بخاطر داشته باشید ، x به معنای "متوسط ​​تعداد سکه هایی است که باید برای بدست آوردن دو بار متوالی سر پرتاب کنید". وقتی x را محاسبه کردیم ، پاسخ خود را نیز پیدا کردیم.
   • x = 0.75x + 1.5
   • x - 0.75x = 0.75x + 1.5 - 0.75x
   • 0.25x = 1.5
   • (0.25x) / (0.25) = (1.5) / (0.25)
   • x = 6
   • به طور متوسط ​​، شما باید 6 بار قبل از اینکه دو بار سر پرتاب کنید ، یک سکه بیندازید.

روش 3 از 3: مفهوم را درک کنید

1. در واقع مقدار مورد انتظار چیست. ارزش انتظار لزوماً بارزترین یا منطقی ترین نتیجه نیست. گاهی اوقات یک مقدار انتظار حتی می تواند در یک شرایط خاص یک مقدار غیرممکن باشد. به عنوان مثال ، مقدار انتظار می تواند + 5 یورو برای بازی با جایزه بیشتر از 10 یورو باشد. آنچه ارزش انتظار نشان می دهد میزان ارزش یک رویداد خاص است. اگر ارزش پیش بینی یک بازی + 5 یورو باشد ، اگر احساس کنید ارزش زمان و هزینه ای را که می توانید در هر بازی بدست آورید ، می توانید آن را بازی کنید. اگر یک بازی دیگر ارزش پیش بینی شده - 20 دلار داشته باشد ، فقط اگر آن را فکر کنید که هر بازی 20 دلار ارزش دارد ، آن را بازی می کنید.
2. مفهوم وقایع مستقل را درک کنید. در زندگی روزمره ، بسیاری از ما فکر می کنیم یک روز خوش شانسی را پشت سر می گذاریم که اتفاقات خوبی می افتد و انتظار داریم بقیه روز نیز به همین روال پیش برود.به همین ترتیب ، می توانیم تصور کنیم که به اندازه کافی تصادف کرده ایم و واقعاً اکنون باید کار سرگرم کننده ای انجام شود. از نظر ریاضی ، همه چیز آنطور پیش نمی رود. اگر یک سکه معمولی بیندازید ، دقیقاً همان شانس پرتاب یک سر یا سکه وجود دارد. مهم نیست که چند بار قبلاً انداخته اید. دفعه بعدی که می اندازید باز هم به همان روش کار می کند. پرتاب سکه از سایر پرتاب ها "مستقل" است ، تحت تأثیر آن نیست.
   • این باور که می توانید هنگام پرتاب سکه (یا هر بازی شانس دیگری) خوش شانس یا بدشانس باشید ، یا این واقعیت که تمام بدشانسی شما اکنون تمام شده و شانس با شما یار است تقلب قمارباز (یا مغالطه قمارباز) نیز نامیده می شود. این مربوط به گرایش افراد به تصمیم گیری مخاطره آمیز یا احمقانه است وقتی احساس می کنند شانس با آنها است ، یا اگر احساس می کنند "ردیف خوش شانسی" دارند یا اینکه احساس می کنند "بخت در شرف تبدیل شدن" است.
3. قانون اعداد بزرگ را درک کنید. ممکن است فکر کنید که مقدار انتظار واقعاً مفید نیست ، زیرا فقط به ندرت به شما می گوید که نتیجه واقعی یک وضعیت چیست. اگر محاسبه کرده باشید که ارزش مورد انتظار برای یک بازی رولت - 1 یورو است و شما 3 بار بازی را انجام می دهید ، معمولاً با 10 یورو یا 60 یورو یا نتیجه دیگر به دست می آورید. "قانون اعداد بزرگ" به شما توضیح می دهد که چرا ارزش انتظار از آنچه فکر می کنید مفیدتر است: هرچه بیشتر بازی کنید ، میانگین نتیجه به ارزش انتظار نزدیکتر خواهد بود. وقتی به تعداد زیادی رویداد نگاه می کنید ، احتمال نزدیک شدن نتیجه نهایی به مقدار مورد انتظار بسیار زیاد است.

نکات

• برای شرایطی که چندین نتیجه ممکن است ، می توانید صفحه گسترده ای در رایانه ایجاد کنید تا مقدار مورد انتظار را با استفاده از نتایج و احتمالات آنها محاسبه کنید.
• محاسبات یورو فوق با ارزهای دیگر نیز کار می کند.

ضروریات

• مداد
• کاغذ
• ماشین حساب