محتوا

• مراحل
• قسمت 1 از 3: درک مربع اعداد و ریشه های مربع
• قسمت 2 از 3: با استفاده از الگوریتم تقسیم طولانی
• قسمت 3 از 3: شمارش سریع مربع های ناقص
• نکات

در حالی که ظاهر ترسناک نماد ریشه مربع می تواند باعث شود که کسی که در ریاضیات مهارت ندارد ، دچار مشکل شود ، اما مشکلات ریشه مربع آنقدرها هم که در ابتدا به نظر می رسد دشوار نیستند. مسائل ساده ریشه مربع را اغلب می توان به آسانی مشکلات معمول ضرب یا تقسیم حل کرد. از سوی دیگر ، کارهای پیچیده تر ممکن است نیاز به تلاش داشته باشند ، اما با رویکرد مناسب ، حتی آنها برای شما دشوار نخواهد بود. برای یادگیری این مهارت ریاضیاتی جدید ، همین امروز شروع به حل ریشه کنید!

مراحل

قسمت 1 از 3: درک مربع اعداد و ریشه های مربع

1. 1 عدد را با ضرب آن در خود مربع کنید. برای درک ریشه های مربع ، بهتر است از مربع اعداد شروع کنیم. مربع کردن اعداد بسیار ساده است: تقسیم عدد به معنای ضرب آن در خود است. به عنوان مثال ، 3 مربع برابر است با 3 × 3 = 9 ، و مربع 9 همان 9 × 9 = 81. مربع ها با نوشتن عدد کوچک "2" در سمت راست بالای شماره مربع مشخص می شوند. مثال: 3 ، 9 ، 100 و غیره.
   • سعی کنید چند عدد دیگر را خودتان امتحان کنید تا این مفهوم را امتحان کنید. به یاد داشته باشید ، مربع کردن یک عدد به این معنی است که عدد باید به خودی خود ضرب شود. این کار حتی برای اعداد منفی نیز قابل انجام است. در این حالت ، نتیجه همیشه مثبت خواهد بود. به عنوان مثال: -8 = -8 × -8 = 64.
2. 2 وقتی صحبت از ریشه های مربع می شود ، روند به شکل مربع برعکس می شود. نماد ریشه (√ ، همچنین رادیکال نیز نامیده می شود) در اصل به معنای مخالف نماد است. وقتی رادیکال می بینید ، باید از خود بپرسید: "چه عددی می تواند به خودی خود ضرب شود تا عدد زیر ریشه شود؟" به عنوان مثال ، اگر √ (9) را می بینید ، باید عددی را بیابید که در صورت مربع ، عدد نه را بدهد. در مورد ما ، این عدد سه خواهد بود ، زیرا 3 = 9.
   • مثال دیگری را در نظر بگیرید و ریشه 25 را پیدا کنید (√ (25)). این بدان معناست که ما باید عددی را پیدا کنیم که به ما 25 مربع می دهد. از آنجا که 5 = 5 × 5 = 25 ، می توان گفت که √ (25) = 5.
   • شما همچنین می توانید این را به عنوان "لغو" مربع در نظر بگیرید. به عنوان مثال ، اگر باید √ (64) ، ریشه مربع 64 را بیابیم ، پس این عدد را 8 در نظر بگیریم ، زیرا نماد ریشه مربع را "لغو" می کند ، می توانیم بگوییم √ (64) = √ (8 ) = 8
3. 3 تفاوت بین مربع کامل و غیر کامل را بدانید. تا به حال ، پاسخ مشکلات ما با root خوب و اعداد گرد بوده است ، اما همیشه اینطور نیست. پاسخ به مسائل ریشه مربع می تواند اعداد اعشاری بسیار طولانی و ناخوشایند باشد. به اعدادی که ریشه آنها اعداد کامل است (به عبارت دیگر اعدادی که کسر نیستند) مربع کامل گفته می شود. همه مثالهای بالا (9 ، 25 و 64) مربع های کاملی هستند زیرا ریشه آنها یک عدد صحیح خواهد بود (3.5 و 8).
   • از طرف دیگر ، اعدادی که وقتی به ریشه بروند ، عدد صحیح نمی دهند ، مربع ناقص نامیده می شوند. اگر یکی از این اعداد را زیر ریشه قرار دهید ، عددی با کسر اعشاری دریافت می کنید. گاهی اوقات این عدد می تواند بسیار طولانی باشد. به عنوان مثال ، 13 (13) = 3.605551275464 ...
4. 4 1 تا 12 مربع اول را به خاطر بسپارید. همانطور که احتمالاً قبلاً متوجه شده اید ، یافتن ریشه یک مربع کامل بسیار آسان است! از آنجا که این کارها بسیار آسان هستند ، ارزش یادآوری ریشه های دوازده مربع کامل اول را دارد. شما بیش از یک بار با این اعداد برخورد خواهید کرد ، بنابراین کمی وقت بگذارید تا آنها را زود به خاطر بسپارید و در آینده وقت خود را ذخیره کنید.
   • 1 = 1 × 1 = 1
   • 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 = 3 × 3 = 9
   • 4 = 4 × 4 = 16
   • 5 = 5 × 5 = 25
   • 6 = 6 × 6 = 36
   • 7 = 7 × 7 = 49
   • 8 = 8 × 8 = 64
   • 9 = 9 × 9 = 81
   • 10 = 10 × 10 = 100
   • 11 = 11 × 11 = 121
   • 12 = 12 × 12 = 144
5. 5 در صورت امکان ریشه ها را با حذف مربعات کامل از آن ساده کنید. پیدا کردن ریشه یک مربع ناقص گاهی اوقات می تواند مشکل باشد ، به ویژه اگر از ماشین حساب استفاده نمی کنید (برای تسهیل این روند به بخش زیر مراجعه کنید. با این حال ، اغلب می توانید شماره زیر ریشه را ساده کنید تا کار با آن آسان تر شود. برای انجام این کار ، فقط باید عدد زیر ریشه را فاکتور بگذارید و سپس ریشه عامل را که یک مربع کامل است ، بیابید و آن را خارج از ریشه بنویسید. این راحت تر از آن است که به نظر می رسد.برای اطلاعات بیشتر، به خواندن ادامه دهید.
   • فرض کنید ما باید ریشه مربع 900 را پیدا کنیم. در نگاه اول ، این یک کار بسیار دلهره آور به نظر می رسد! با این حال ، اگر عدد 900 را بر عوامل تقسیم کنیم ، کار چندان سختی نخواهد بود. ضرب کننده ها اعدادی هستند که در یکدیگر ضرب می شوند تا یک عدد جدید به دست آید. به عنوان مثال ، عدد 6 را می توان با ضرب 1 × 6 و 2 × 3 بدست آورد ، عوامل آن اعداد 1 ، 2 ، 3 و 6 خواهند بود.
   • به جای اینکه به دنبال ریشه 900 باشیم ، که کمی مشکل است ، بیایید 900 را 9 در 100 write بنویسیم. حال آن 9 که یک مربع کامل است از 100 جدا شده است ، می توانیم ریشه آن را پیدا کنیم. √ (100 9 9) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). به عبارت دیگر ، √ (900) = 3√ (100).
   • حتی می توان با تقسیم 100 بر دو عامل 25 و 4 حتی فراتر رفت. √ (100) = √ (4 25 25) = √ (25) √ (4) = 5 × 2 = 10. بنابراین می توان گفت ، که √ (900) = 3 (10) = 30
6. 6 برای یافتن ریشه یک عدد منفی از اعداد خیالی استفاده کنید. از خود بپرسید که چه عددی در ضرب در خود 16 -می دهد؟ این عدد 4 یا -4 نیست ، زیرا با تقسیم این اعداد به ما یک عدد مثبت 16 می رسد. تسلیم شوید؟ در حقیقت ، راهی برای نوشتن ریشه -16 یا هر عدد منفی دیگر در اعداد معمولی وجود ندارد. در این مورد ، ما باید اعداد خیالی (معمولاً به شکل حروف یا نمادها) را جایگزین کنیم تا آنها به جای ریشه یک عدد منفی ظاهر شوند. به عنوان مثال ، متغیر "i" معمولاً برای ریشه -1 استفاده می شود. به طور معمول ، ریشه یک عدد منفی همیشه عدد خیالی (یا شامل آن) خواهد بود.
   • توجه داشته باشید که اگرچه اعداد خیالی را نمی توان با اعداد معمولی نشان داد ، اما همچنان می توان آنها را چنین تلقی کرد. به عنوان مثال ، ریشه مربع یک عدد منفی می تواند به صورت مربع به این اعداد منفی ، مانند سایر ریشه های مربع ، برسد. به عنوان مثال ، i = -1

قسمت 2 از 3: با استفاده از الگوریتم تقسیم طولانی

1. 1 مشکل را با ریشه به عنوان یک مسئله تقسیم طولانی بنویسید. در حالی که این کار بسیار وقت گیر است ، به این ترتیب می توانید مشکل ریشه مربع ناقص را بدون استفاده از ماشین حساب حل کنید. برای انجام این کار ، ما از یک روش راه حل (یا الگوریتم) استفاده می کنیم که شبیه تقسیم طولانی معمولی (اما دقیقاً یکسان) نیست.
   • ابتدا ، مشکل ریشه را به همان شکلی که برای تقسیم طولانی نوشته شده است ، بنویسید. فرض کنید می خواهیم ریشه مربع 6.45 را پیدا کنیم ، که دقیقاً یک مربع کامل نیست. ابتدا نماد مربع معمول را می نویسیم و سپس عددی را در زیر آن می نویسیم. در مرحله بعد ، خطی را بالای عدد ترسیم می کنیم تا درست مانند تقسیم طولانی در یک "جعبه" کوچک ظاهر شود. پس از آن ما یک ریشه با دم بلند و یک عدد 6.45 در زیر آن داریم.
   • ما اعداد را در بالای ریشه می نویسیم ، بنابراین مطمئن شوید که جایی در آن جا بگذارید.
2. 2 اعداد را به صورت جفت دسته بندی کنید. برای شروع حل مشکل ، باید ارقام عدد را زیر رادیکال به صورت جفت دسته بندی کنید ، با یک نقطه اعشار شروع کنید. اگر دوست دارید ، می توانید علامت های کوچکی (مانند نقاط ، خطوط مایل ، کاما و غیره) بین جفت ها ایجاد کنید تا دچار سردرگمی نشوید.
   • در مثال ما ، باید عدد 6.45 را به صورت زیر جفت کنیم: 6- ، 45-00. توجه داشته باشید که یک عدد "باقی مانده" در سمت چپ وجود دارد - این طبیعی است.
3. 3 بزرگترین عددی را پیدا کنید که مربع آن کمتر یا مساوی با "گروه" اول باشد. با اولین شماره یا جفت در سمت چپ شروع کنید. بزرگترین عددی را انتخاب کنید که مربع آن کمتر یا مساوی با "گروه" باقی مانده باشد. به عنوان مثال ، اگر گروه 37 نفر بود ، عدد 6 را انتخاب می کردید زیرا 6 = 36 37 و 7 = 49> 37. این عدد را بالای گروه اول بنویسید. این اولین شماره پاسخ شما خواهد بود.
   • در مثال ما ، اولین گروه در 6 ، 45-00 عدد 6 خواهد بود. بزرگترین عددی که در مربع کمتر یا مساوی 6 است 2 = 4 است. عدد 2 را بالای عدد 6 زیر ریشه بنویسید به
4. 4 عددی را که نوشتید دو برابر کنید ، سپس آن را ریشه کن کرده و از آن کم کنید. اولین رقم پاسخ خود را (عددی که تازه پیدا کرده اید) بردارید و آن را دو برابر کنید. نتیجه را در زیر اولین گروه خود بنویسید و تفریق کنید تا تفاوت را بیابید. دو عدد بعدی را در کنار پاسخ بگذارید. در نهایت ، آخرین دو رقمی از اولین رقم پاسخ خود را در سمت چپ بنویسید و در کنار آن فاصله ای بگذارید.
   • در مثال ما ، ما با دو برابر کردن عدد 2 ، که اولین عدد در پاسخ ما است ، شروع می کنیم. 2 × 2 = 4.سپس 4 را از 6 کم می کنیم (اولین "گروه" ما) ، 2 را بدست می آوریم. سپس گروه بعدی (45) را حذف می کنیم تا به 245 برسد. و در نهایت ، در سمت چپ ، دوباره عدد 4 را می نویسیم ، و یک فضای کوچک در پایان ، اینجا به این شکل: 4_
5. 5 لطفاً جای خالی را پر کنید. سپس باید یک عدد به سمت راست شماره ثبت شده ، که در سمت چپ است ، اضافه کنید. رقمی را انتخاب کنید و با ضرب آن با شماره جدید خود ، بزرگترین نتیجه ممکن را بدست آورید ، اما کمتر یا مساوی عدد "حذف شده" باشد. به عنوان مثال ، اگر شماره "حذف شده" شما 1700 است ، و شماره شما در سمت چپ 40_ است ، باید عدد 4 را در فضا بنویسید ، زیرا 404 × 4 = 1616 1700 ، در حالی که 405 × 5 = 2025. رقم یافت شده در این مرحله و دومین رقم پاسخ شما خواهد بود ، بنابراین می توانید آن را در بالای علامت اصلی بنویسید.
   • در مثال ما ، ما باید یک عدد پیدا کنیم و آن را در فاصله های 4_ × _ بنویسیم ، که پاسخ را تا حد ممکن بزرگتر می کند ، اما هنوز کمتر یا مساوی 245 است. در مورد ما ، 5 است. 5 45 45 = 225 ، در حالی که 6 46 46 = 276
6. 6 برای یافتن پاسخ ، از اعداد خالی استفاده کنید. حل این تقسیم طولانی اصلاح شده را ادامه دهید تا زمانی که با کم کردن عدد "حذف شده" به صفر برسید یا تا زمانی که به سطح دقت مورد نظر خود برسید. پس از اتمام کار ، اعدادی که برای پر کردن جاهای خالی در هر مرحله (بعلاوه اولین شماره) استفاده می کنید ، عدد پاسخ شما را تشکیل می دهد.
   • در ادامه مثال خود ، 225 را از 245 کم می کنیم و به عدد 20 می رسیم. سپس ، جفت بعدی اعداد ، 00 را رها می کنیم تا 2000 به دست آید. عدد بالای علامت ریشه را دو برابر کنید. ما 25 × 2 = 50 می گیریم. مثال را با فاصله ، 50_ × _ = / 2000 ، 3 بدست می آوریم ، 3 را بدست می آوریم. در این مرحله ، 253 را در بالای رادیکال نوشته خواهیم داشت و با تکرار مجدد این روند ، عدد بعدی ما 9 خواهد بود. به
7. 7 نقطه اعشار را از عدد تقسیم سود اصلی به جلو منتقل کنید. برای تکمیل پاسخ خود ، باید اعشار را در محل صحیح قرار دهید. خوشبختانه انجام این کار نسبتاً آسان است. تنها کاری که باید انجام دهید این است که آن را با نقطه شماره اصلی تراز کنید. به عنوان مثال ، اگر عدد 49.8 زیر ریشه است ، باید بین دو عدد بالای عدد نه و هشت یک نقطه کامل قرار دهید.
   • در مثال ما ، 6.45 در زیر رادیکال وجود دارد ، بنابراین ما فقط نقطه را حرکت می دهیم و آن را بین اعداد 2 و 5 در پاسخ خود قرار می دهیم و جواب را برابر 2.539 می گیریم.

قسمت 3 از 3: شمارش سریع مربع های ناقص

1. 1 با شمارش مربع های ناقص پیدا کنید. پس از به خاطر سپردن مربع های کامل ، یافتن ریشه مربع های ناقص بسیار ساده تر می شود. از آنجایی که شما دوازده مربع کامل را می شناسید ، هر عددی که در ناحیه بین این دو مربع کامل قرار بگیرد با کاهش همه چیز به یک مقدار تقریبی بین این مقادیر قابل یافت است. با یافتن دو مربع کامل با شماره خود در میان شروع کنید. سپس تعیین کنید که شماره شما به کدام یک از این اعداد نزدیکتر است.
   • به عنوان مثال ، فرض کنید ما باید ریشه مربع 40 را پیدا کنیم. از آنجا که مربع کامل را حفظ کردیم ، می توانیم بگوییم که 40 بین 6 و 7 یا 36 و 49 است. از آنجا که 40 بزرگتر از 6 است ، ریشه آن بزرگتر از 6 خواهد بود. ، و از آنجایی که کمتر از 7 است ، ریشه آن نیز کمتر از 7. 40 است. کمی به 36 نسبت به 49 نزدیک است ، بنابراین احتمالاً پاسخ کمی به 6 نزدیک می شود. در چند مرحله بعدی ، ما عدد خود را محدود می کنیم. پاسخ.
2. 2 ریشه مربع را تا اولین اعشار بشمارید. هنگامی که دو مربع کامل بین تعداد خود انتخاب کرده اید ، همه چیز به شمارش شما بستگی دارد تا زمانی که به پاسخ مورد نظر خود برسید. هرچه بیشتر حساب کنید ، پاسخ شما دقیق تر خواهد بود. با انتخاب محل قرار دادن نقطه اعشار در پاسخ شروع کنید. لازم نیست صحیح باشد ، اما اگر از منطق استفاده کنید و تا آنجا که ممکن است به پاسخ صحیح نزدیک شوید ، در وقت شما صرفه جویی می شود.
   • در مثال ما ، برآورد منطقی ریشه مربع 40 ممکن است 6.4 باشد ، زیرا از اطلاعات فوق ، می دانیم که پاسخ به 6 نزدیک تر از 7 است.
3. 3 عدد تقریبی را به تنهایی ضرب کنید. کار بعدی که باید انجام دهید این است که عدد تقریبی را مربع کنید. به احتمال زیاد از شانس خارج خواهید شد و شماره اصلی را دریافت نخواهید کرد. کمی بزرگتر یا کمی کوچکتر خواهد بود.اگر نتیجه شما بسیار زیاد است ، دوباره امتحان کنید ، اما با تخمین کمی کمتر (و برعکس اگر نتیجه خیلی کم باشد).
   • 6.4 را به خودی خود ضرب کنید و 6.4 6. 6.4 = 40.96 بدست می آورید که کمی بیشتر از عدد اصلی است.
   • از آنجایی که پاسخ ما بزرگتر به نظر می رسد ، باید عدد را در یک دهم کمتر در تقریبی ضرب کرده و نتیجه زیر را بدست آوریم: 6.3 × 6.3 = 39.69 = 6.3. این مقدار کمی کمتر از عدد اصلی است. این بدان معناست که ریشه مربع 40 بین 6.3 تا 6.4 است. باز هم ، از آنجا که 39.69 به 40 نسبت به 40.96 نزدیکتر است ، می دانیم که ریشه مربعی به 6.3 نزدیک به 6.4 خواهد بود.
4. 4 محاسبه را ادامه دهید. در این مرحله ، اگر از پاسخ خود راضی هستید ، می توانید به سادگی اولین حدسی را که حدس می زنید ، بگیرید. با این حال ، اگر می خواهید پاسخ دقیق تری داشته باشید ، کافی است یک مقدار تقریبی با دو رقم اعشار را انتخاب کنید که این مقدار تقریبی را بین دو عدد اول قرار می دهد. با ادامه این شمارش ، می توانید سه ، چهار یا بیشتر اعشار را برای پاسخ خود دریافت کنید. همه چیز بستگی به این دارد که چقدر می خواهید پیش بروید.
   • برای مثال ما ، بیایید 6.33 را به عنوان مقدار تقریبی با دو رقم اعشار انتخاب کنیم. 6.33 را به خودی خود ضرب کنید تا 6.33 × 6.33 = 40.0689 بدست آید. از آنجا که این عدد کمی بزرگتر از عدد ما است ، ما عدد کوچکتری را برای مثال 6.32 می گیریم. 6.32 × 6.32 = 39.9424. این پاسخ کمی کمتر از عدد ما است ، بنابراین می دانیم که ریشه مربع دقیق بین 32/6 تا 33/6 است. اگر می خواستیم ادامه دهیم ، از همان رویکرد استفاده می کردیم تا پاسخی را دریافت کنیم که روز به روز دقیق تر می شود.

نکات

• برای یافتن سریع راه حل ، از ماشین حساب استفاده کنید. اکثر ماشین حساب های مدرن می توانند فوراً ریشه یک عدد را بیابند. تنها کاری که باید انجام دهید این است که شماره خود را وارد کرده و سپس روی دکمه اصلی کلیک کنید. به عنوان مثال ، برای یافتن ریشه 841 ، باید 8 ، 4 ، 1 و (√) را فشار دهید. در نتیجه ، پاسخ 39 را دریافت خواهید کرد.