محتوا

• خلاصه ای مختصر
• مراحل
• قسمت 1 از 3: آزمایش تقسیم پذیری ماتریس ها
• قسمت 2 از 3: پیدا کردن ماتریس معکوس
• قسمت 3 از 3: ضرب ماتریس
• نکات
• هشدارها
• مقالات تکمیلی

اگر می دانید چگونه دو ماتریس را ضرب کنید ، می توانید "تقسیم" ماتریس ها را شروع کنید. کلمه "تقسیم" در علامت نقل قول قرار دارد ، زیرا ماتریس ها در واقع نمی توانند تقسیم شوند. عملیات تقسیم با عمل ضرب یک ماتریس در ماتریسی که معکوس ماتریس دوم است جایگزین می شود. برای سادگی ، یک مثال با اعداد صحیح را در نظر بگیرید: 10 ÷ 5. متقابل 5: 5 یا / را بیابید₅، و سپس تقسیم را با ضرب جایگزین کنید: 10 5 5 ؛ نتیجه تقسیم و ضرب یکسان خواهد بود. بنابراین ، اعتقاد بر این است که تقسیم را می توان با ضرب در ماتریس معکوس جایگزین کرد. به طور معمول ، چنین محاسباتی برای حل سیستم معادلات خطی استفاده می شود.

خلاصه ای مختصر

1. شما نمی توانید ماتریس ها را تقسیم کنید. به جای تقسیم ، یک ماتریس در معکوس ماتریس دوم ضرب می شود. "تقسیم" دو ماتریس [A] [B] به شرح زیر نوشته می شود: [A] * [B] یا [B] * [A].
2. اگر ماتریس [B] مربع نیست ، یا اگر تعیین کننده آن 0 است ، "هیچ راه حل بدون ابهام" را بنویسید. در غیر این صورت ، تعیین کننده ماتریس [B] را پیدا کرده و به مرحله بعدی بروید.
3. معکوس را بیابید: [B].
4. برای پیدا کردن [A] * [B] یا [B] * [A] ماتریس ها را ضرب کنید. به خاطر داشته باشید که ترتیب ضرب ماتریس ها بر نتیجه نهایی تأثیر می گذارد (یعنی ممکن است نتایج متفاوت باشد).

مراحل

قسمت 1 از 3: آزمایش تقسیم پذیری ماتریس ها

1. 1 "تقسیم" ماتریس ها را درک کنید. در واقع ، ماتریس ها را نمی توان تقسیم کرد. هیچ عمل ریاضی مانند "تقسیم یک ماتریس به دیگری" وجود ندارد. تقسیم با ضرب یک ماتریس در معکوس ماتریس دوم جایگزین می شود. یعنی علامت [A] ÷ [B] صحیح نیست ، بنابراین با علامت زیر جایگزین می شود: [A] * [B]. از آنجا که هر دو مدخل در مورد مقادیر مقیاس معادل هستند ، از لحاظ نظری می توان در مورد "تقسیم" ماتریس ها صحبت کرد ، اما هنوز هم بهتر است از اصطلاحات صحیح استفاده شود.
   • توجه داشته باشید که [A] * [B] و [B] * [A] عملیات متفاوتی هستند. ممکن است انجام هر دو عملیات برای یافتن همه راه حل های ممکن ضروری باشد.
   • به عنوان مثال ، به جای ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} div { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ بنویس ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} }$.
     شاید مجبور باشید محاسبه کنید ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} }$برای رسیدن به نتیجه متفاوت
2. 2 مطمئن شوید ماتریسی که ماتریس دیگر را بر آن تقسیم می کنید مربع باشد. برای معکوس کردن ماتریس (معکوس ماتریس را بیابید) ، باید مربع باشد ، یعنی با همان تعداد سطر و ستون. اگر ماتریس معکوس معکوس نباشد ، راه حل قطعی وجود ندارد.
   • باز هم ، ماتریس ها در اینجا "قابل تقسیم" نیستند. در عمل [A] * [B] ، شرایط توصیف شده به ماتریس [B] اشاره دارد. در مثال ما ، این شرط به ماتریس اشاره دارد ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$
   • ماتریسی که می تواند معکوس شود را غیر دژنره یا منظم می نامند. ماتریسی که نمی تواند معکوس شود ، انحطاط یا مفرد نامیده می شود.
3. 3 بررسی کنید که آیا دو ماتریس را می توان ضرب کرد یا خیر. برای ضرب دو ماتریس ، تعداد ستون های ماتریس اول باید برابر با تعداد سطرهای ماتریس دوم باشد. اگر این شرط در ورودی [A] * [B] یا [B] * [A] رعایت نشده باشد ، راه حلی وجود ندارد.
   • به عنوان مثال ، اگر اندازه ماتریس [A] 4 * 3 و اندازه ماتریس [B] 2 * 2 باشد ، راه حلی وجود ندارد. شما نمی توانید [A] * [B] را به دلیل 4 ≠ 2 ضرب کنید و نمی توانید [B] * [A] را به دلیل 2 ≠ 3 ضرب کنید.
   • توجه داشته باشید که ماتریس معکوس [B] همیشه دارای همان تعداد سطر و ستون با ماتریس اصلی [B] است. برای بررسی اینکه آیا می توان دو ماتریس را ضرب کرد ، نیازی به یافتن ماتریس معکوس نیست.
   • در مثال ما ، اندازه هر دو ماتریس 2 * 2 است ، بنابراین می توان آنها را به هر ترتیبی ضرب کرد.
4. 4 تعیین کننده ماتریس 2 × 2 را بیابید. به یاد داشته باشید: فقط در صورتی می توانید ماتریس را معکوس کنید که تعیین کننده آن صفر نباشد (در غیر این صورت ، نمی توانید ماتریس را معکوس کنید). در اینجا نحوه پیدا کردن تعیین کننده ماتریس 2 2 2 آمده است:
   • ماتریس 2 * 2: تعیین کننده ماتریس ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$ برابر با ad - bc است. یعنی ، از محصول عناصر مورب اصلی (از گوشه سمت چپ بالا و پایین راست عبور می کند) ، محصولات عناصر مورب دیگر را (از گوشه بالا سمت راست و پایین چپ عبور می کند) کم کنید.
   • به عنوان مثال ، تعیین کننده ماتریس ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ برابر است با (7) (3) - (4) (2) = 21 - 8 = 13. تعیین کننده غیر صفر است ، بنابراین می توان این ماتریس را وارونه کرد.
5. 5 تعیین کننده ماتریس بزرگتر را بیابید. اگر اندازه ماتریس 3 * 3 یا بیشتر باشد ، محاسبه تعیین کننده کمی دشوارتر است.
   • ماتریس 3 * 3: هر موردی را انتخاب کرده و سطر و ستونی را که در آن قرار دارد ، خط بزنید.تعیین کننده ماتریس حاصل 2 × 2 را بیابید و سپس آن را در عنصر انتخاب شده ضرب کنید. علامت تعیین کننده را در یک جدول خاص مشخص کنید. این فرآیند را برای دو مورد دیگر که در یک ردیف یا ستون با موردی که انتخاب کرده اید ، تکرار کنید. سپس مجموع (سه) تعیین کننده دریافتی را بیابید. برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد نحوه یافتن تعیین کننده ماتریس 3 3 3 ، این مقاله را بخوانید.
   • ماتریس های بزرگ: تعیین کننده چنین ماتریس هایی بهتر است با ماشین حساب نمودار یا نرم افزار جستجو شود. روش مشابه روش یافتن تعیین کننده ماتریس 3 × 3 است ، اما استفاده از آن به صورت دستی خسته کننده است. به عنوان مثال ، برای یافتن تعیین کننده ماتریس 4 4 4 ، باید تعیین کننده های چهار ماتریس 3 3 3 را پیدا کنید.
6. 6 محاسبات را ادامه دهید. اگر ماتریس مربع نیست یا اگر تعیین کننده آن برابر صفر است ، "بدون راه حل بدون ابهام" بنویسید ، یعنی فرآیند محاسبه به پایان رسیده است. اگر ماتریس مربع است و تعیین کننده غیر صفر دارد ، به بخش بعدی بروید.

قسمت 2 از 3: پیدا کردن ماتریس معکوس

1. 1 عناصر مورب اصلی ماتریس 2 2 2 را عوض کنید. با ماتریس 2 × 2 ، از روش سریع معکوس استفاده کنید. ابتدا عنصر بالا سمت چپ و عنصر پایین سمت راست را عوض کنید. مثلا:
   • ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$
   • توجه داشته باشید: اکثر مردم از ماشین حساب برای وارونه کردن ماتریس 3 * 3 (یا بزرگتر) استفاده می کنند. اگر نیاز دارید این کار را به صورت دستی انجام دهید ، به انتهای این بخش بروید.
2. 2 دو عنصر باقی مانده را عوض نکنید ، بلکه علامت آنها را تغییر دهید. یعنی عنصر بالا سمت راست و پایین سمت چپ را در -1 ضرب کنید:
   • ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
3. 3 متقابل تعیین کننده را بیابید. تعیین کننده این ماتریس در قسمت قبل یافت شد ، بنابراین ما آن را دوباره محاسبه نمی کنیم. عکس معکوس به شرح زیر نوشته می شود: 1 / (تعیین کننده):
   • در مثال ما ، تعیین کننده 13 است. مقدار معکوس: ${ displaystyle { frac {1} {13}}}$.
4. 4 ماتریس بدست آمده را در متقابل تعیین کننده ضرب کنید. هر عنصر ماتریس جدید را با معکوس تعیین کننده ضرب کنید. ماتریس نهایی معکوس ماتریس اصلی 2 * 2 خواهد بود:
   • ${ displaystyle { frac {1} {13}} * { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
     =${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} و { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} و { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$
5. 5 بررسی کنید که محاسبات صحیح است. برای انجام این کار ، ماتریس اصلی را در معکوس آن ضرب کنید. اگر محاسبات صحیح باشد ، حاصلضرب ماتریس اصلی توسط معکوس ماتریس هویت را ارائه می دهد: ${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$... اگر آزمایش موفقیت آمیز بود ، به بخش بعدی بروید.
   • در مثال ما: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} و { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} و { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$.
   • برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد نحوه ضرب ماتریس ، این مقاله را بخوانید.
   • توجه: عمل ضرب ماتریس تغییرپذیر نیست ، یعنی ترتیب ماتریس ها مهم است. اما وقتی ماتریس اصلی در معکوس آن ضرب شود ، هر ترتیب به ماتریس هویت منتهی می شود.
6. 6 معکوس ماتریس 3 3 3 را بیابید (یا بزرگتر) اگر از قبل با این فرآیند آشنا هستید ، بهتر است از ماشین حساب نمودار یا نرم افزار خاصی استفاده کنید. اگر می خواهید ماتریس معکوس را به صورت دستی پیدا کنید ، روند به طور خلاصه در زیر شرح داده شده است:
   • به ماتریس هویت I در سمت راست ماتریس اصلی بپیوندید. به عنوان مثال ، [B] [B | من]. برای ماتریس هویت ، همه عناصر مورب اصلی برابر 1 و همه عناصر دیگر برابر 0 هستند.
   • ماتریس را ساده کنید تا سمت چپ آن پلکانی شود. ساده سازی را ادامه دهید تا سمت چپ به ماتریس هویت تبدیل شود.
   • پس از ساده سازی ، ماتریس شکل زیر را خواهد داشت: [I | B]. یعنی سمت راست آن معکوس ماتریس اصلی است.

قسمت 3 از 3: ضرب ماتریس

1. 1 دو عبارت ممکن را بنویسید. عمل ضرب دو مقیاس تغییرپذیر است ، یعنی 2 6 6 = 6 2 2.این مورد در مورد ضرب ماتریس صادق نیست ، بنابراین ممکن است مجبور شوید دو عبارت را حل کنید:
   • ایکس = [A] * [B] راه حل معادله است ایکس[B] = [A].
   • ایکس = [B] * [A] راه حل معادله [B] استایکس = [A].
   • هر عمل ریاضی را در دو طرف معادله انجام دهید. اگر [A] = [C] سپس [B] [A] ≠ [C] [B] زیرا [B] در سمت چپ [A] اما در سمت راست [C] است.
2. 2 اندازه ماتریس نهایی را تعیین کنید. اندازه ماتریس نهایی به اندازه ماتریس های ضرب شده بستگی دارد. تعداد سطرهای ماتریس نهایی برابر با تعداد سطرهای ماتریس اول و تعداد ستونهای ماتریس نهایی برابر با تعداد ستونهای ماتریس دوم است.
   • در مثال ما ، اندازه هر دو ماتریس ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}}}$ و ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} و { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} و { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$ 2 2 2 است ، بنابراین اندازه ماتریس اصلی 2 2 2 خواهد بود.
   • یک مثال پیچیده تر را در نظر بگیرید: اگر اندازه ماتریس [A] باشد 4 x 3 ، و اندازه ماتریس [B] 3 x است 3، سپس ماتریس نهایی [A] * [B] 4 3 3 خواهد بود.
3. 3 مقدار عنصر اول را بیابید. این مقاله را بخوانید یا مراحل اساسی زیر را به خاطر بسپارید:
   • برای یافتن اولین عنصر (ردیف اول ، اولین ستون) ماتریس نهایی [A] [B] ، ضرب نقطه ای عناصر اولین ردیف ماتریس [A] و عناصر اولین ستون ماتریس [B را محاسبه کنید. ]. در مورد ماتریس 2 2 2 ، نقطه نقطه به شرح زیر محاسبه می شود: ${ displaystyle a_ {1،1} * b_ {1،1} + a_ {1،2} * b_ {2،1}}$.
   • در مثال ما: ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} و { frac {7} {13}} end {pmatrix}}}$... بنابراین ، اولین عنصر ماتریس نهایی عنصر خواهد بود:
     ${ displaystyle (13 * { frac {3} {13}}) + (26 * { frac {-2} {13}})}$
     ${ displaystyle = 3 + -4}$
     ${ displaystyle = -1}$
4. 4 برای یافتن هر عنصر ماتریس نهایی ، محاسبه محصولات نقطه را ادامه دهید. به عنوان مثال ، عنصری که در ردیف دوم و ستون اول قرار دارد برابر است با نقطه نقطه ردیف دوم ماتریس [A] و ستون اول ماتریس [B]. سعی کنید موارد باقی مانده را خودتان پیدا کنید. شما باید نتایج زیر را بدست آورید:
   • ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} و { frac {7} {13}} end {pmatrix}} = { شروع {pmatrix} -1 & 10 7 & -5 end {pmatrix}}}$
   • اگر می خواهید راه حل دیگری پیدا کنید: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} و { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} و { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} = { شروع {pmatrix} -9 & 2 19 & 3 پایان {pmatrix}}}$

نکات

• ماتریس را می توان به یک مقیاس تقسیم کرد. برای این منظور ، هر عنصر ماتریس با یک مقیاس تقسیم می شود.
  • به عنوان مثال ، اگر ماتریس ${ displaystyle { begin {pmatrix} 6 & 8 2 & 4 end {pmatrix}}}$ تقسیم بر 2 ، ماتریس را دریافت می کنید ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 1 & 2 end {pmatrix}}}$

هشدارها

• در مورد محاسبات ماتریس ، ماشین حساب همیشه نتایج کاملاً دقیقی را ارائه نمی دهد. به عنوان مثال ، اگر ماشین حساب ادعا کند که مورد یک عدد بسیار کوچک است (مانند 2E) ، به احتمال زیاد مقدار آن صفر است.

مقالات تکمیلی

نحوه ضرب ماتریس ها چگونه معکوس ماتریس 3x3 را پیدا کنیم چگونه می توان تعیین کننده ماتریس 3X3 را پیدا کرد نحوه یافتن حداکثر یا حداقل یک تابع درجه دوم نحوه محاسبه فرکانس نحوه حل معادلات درجه دوم نحوه اندازه گیری ارتفاع بدون نوار اندازه گیری نحوه یافتن ریشه مربع یک عدد به صورت دستی نحوه تبدیل میلی لیتر به گرم نحوه تبدیل از دودویی به اعشاری نحوه محاسبه مقدار پی نحوه تبدیل از اعشاری به دودویی نحوه محاسبه احتمال نحوه تبدیل دقیقه به ساعت