محتوا

• مراحل
• مشاوره

سرعت به عنوان سرعت یک جسم در یک جهت معین تعریف می شود. در بسیاری از موارد ، برای یافتن سرعت از معادله v = s / t استفاده خواهیم کرد ، جایی که v سرعت است ، s کل فاصله جابجایی جسم از موقعیت اصلی آن است و t زمانی است که طول می کشد تا جسم حرکت کند. تمام راه را برو با این حال ، از نظر تئوری این فرمول فقط برای سرعت است متوسط در راه است. با محاسبه سرعت جسم در هر لحظه از طول مسافت. به این معنا که زمان حمل و نقل و با معادله تعریف می شود v = (ds) / (dt)، یا به عبارت دیگر ، مشتق معادله سرعت متوسط ​​است.

مراحل

قسمت 1 از 3: سرعت آنی را محاسبه کنید

1. 

   
   
   با یک معادله برای محاسبه سرعت با فاصله جابجایی شروع کنید. برای یافتن سرعت آنی ، ابتدا باید معادله ای داشته باشیم که موقعیت جسم (از نظر جابجایی) را در هر زمان مشخص نشان دهد. این بدان معناست که معادله باید فقط یک متغیر داشته باشد S در یک طرف و چرخش تی در طرف دیگر (نه لزوما فقط یک متغیر) ، مانند این:
   

   s = -1.5t + 10t + 4

   • در این معادله ، متغیرها عبارتند از:

     s = جابجایی. فاصله جسم از موقعیت اصلی خود حرکت کرد. به عنوان مثال ، اگر یک جسم بتواند 10 متر جلو و 7 متر عقب راه برود ، کل مسافت سفر آن 10 - 7 = است 3 متر (نه 10 + 7 = 17 متر).

     t = زمان. این متغیر بدون توضیح ساده است ، معمولاً در ثانیه اندازه گیری می شود.

2. 

   
   
   مشتق معادله را بگیرید. مشتق معادله معادله دیگری است که شیب فاصله را در یک زمان خاص نشان می دهد. برای یافتن مشتق معادله با فاصله جابجایی ، دیفرانسیل تابع را طبق قانون کلی زیر بگیرید تا مشتق را محاسبه کنید: اگر y = a * x ، مشتق = a * n * x. این مربوط به تمام اصطلاحات معادله "t" است.
   • به عبارت دیگر ، گرفتن دیفرانسیل از چپ به راست در سمت "t" معادله است. هر وقت با متغیر "t" مواجه شدید ، نمایان را در 1 کم می کنید و اصطلاح را در نمای اصلی ضرب می کنید. هر اصطلاح ثابت (اصطلاحات بدون "t") از بین می روند زیرا در 0 ضرب می شوند. این فرایند در واقع به سختی تصور نمی شود - بیایید معادله را در مرحله بالا به عنوان مثال در نظر بگیریم:
     

     s = -1.5t + 10t + 4
     (2) -1.5t + (1) 10t + (0) 4t
     -3t + 10t
     -3t + 10

     
     

3. 

   "s" را با "ds / dt" جایگزین کنید. برای اینکه معادله جدید مشتق مربع اصلی باشد ، "s" را با نماد "ds / dt" جایگزین می کنیم. از نظر تئوری ، این علامت "مشتق s از نظر t" است. روش ساده تر برای درک این علامت ، ds / dt شیب هر نقطه از معادله اولیه است. به عنوان مثال ، برای پیدا کردن شیب فاصله توصیف شده توسط معادله s = -1.5t + 10t + 4 در زمان t = 5 ، "5" را جایگزین t در مشتق معادله می کنیم.
   • در مثال بالا ، مشتق معادله به این شکل است:
     

     ds / dt = -3t + 10

4. 

   برای یافتن سرعت آنی ، مقداری را در معادله جدید جایگزین کنید. اکنون که معادله مشتق را پیدا کرده ایم ، یافتن سرعت آنی در هر لحظه بسیار آسان است. تنها کاری که شما باید انجام دهید این است که مقدار t را انتخاب کرده و معادله مشتق را جایگزین آن کنید. برای مثال ، اگر بخواهیم سرعت آنی را در t = 5 پیدا کنیم ، فقط باید "5" را جایگزین t کنیم در معادله مشتق ds / dt = -3t + 10. ما این معادله را حل می کنیم:
   

   ds / dt = -3t + 10
   ds / dt = -3 (5) + 10
   ds / dt = -15 + 10 = -5 متر بر ثانیه

   • توجه داشته باشید که ما از واحد "متر / ثانیه" در بالا استفاده می کنیم.از آنجا که ما در حال حل مسئله تغییر مکان در متر و زمان در ثانیه هستیم ، جایی که سرعت دقیقاً تغییر مکان در زمان است ، این واحد مناسب است.
   تبلیغات

قسمت 2 از 3: تخمین سرعت لحظه ای از نظر گرافیکی

1. 

   فاصله حرکت جسم را در طول زمان نمودار کنید. در بخش فوق ، گفتیم که مشتق نیز فرمولی است که به ما امکان می دهد شیب را در هر نقطه از معادله گرفته شده از مشتق پیدا کنیم. در حقیقت ، اگر فاصله متحرک شی را روی نمودار نشان دهید ، شیب نمودار در هر نقطه سرعت آنی جسم در آن نقطه است.
   • برای نمودار نمودن فواصل حرکتی ، از محور x برای زمان و از محور y برای جابجایی استفاده کنید. سپس با اتصال مقادیر t در معادله حرکت ، تعدادی از نقاط را تعیین می کنید ، نتیجه مقادیر s است و نقاط t ، s (x ، y) را روی نمودار قرار می دهید.
   • توجه داشته باشید که نمودار ممکن است در زیر محور x امتداد داشته باشد. اگر خطی که حرکت جسم را نشان می دهد از محور x پایین می رود ، این بدان معناست که جسم از موقعیت اصلی خود به عقب حرکت می کند. به طور کلی ، نمودار در پشت محور y گسترش نخواهد یافت - ما معمولاً سرعت اجسام را که به گذشته حرکت می کنند اندازه گیری نمی کنیم!

2. 

   یک نقطه P و یک نقطه Q واقع در نزدیکی نقطه P روی نمودار را انتخاب کنید. برای یافتن شیب نمودار در نقطه P ، از تکنیک "محدودیت یابی" استفاده می کنیم. یافتن حد به معنای گرفتن دو نقطه (P و Q (یک نقطه نزدیک به P)) بر روی منحنی و یافتن شیب خط اتصال این دو نقطه است ، تکرار این روند به عنوان فاصله بین P و Q کوتاه می شود. به تدریج
   • فرض کنید فاصله جابجایی دارای نقاط (1؛ 3) و (4؛ 7) باشد. در این حالت ، اگر بخواهیم شیب را در (1؛ 3) پیدا کنیم ، می توانیم تنظیم کنیم (1 ؛ 3) = پ و (4 ؛ 7) = س.

3. 

   شیب بین P و Q را پیدا کنید. شیب بین P و Q تفاوت مقادیر y برای P و Q نسبت به اختلاف مقادیر x برای P و Q است. به عبارت دیگر ، H = (سال_س - بله_پ) / (ایکس_س - ایکس_پ)، جایی که H شیب بین دو نقطه است. در این مثال ، شیب بین P و Q است:
   

   H = (سال_س - بله_پ) / (ایکس_س - ایکس_پ)
   H = (7 - 3) / (4 - 1)
   H = (4) / (3) = 1,33

4. 

   با نزدیک شدن Q به P چندین بار تکرار کنید. هدف این است که فاصله P و Q را کم کنید تا زمانی که به یک نقطه واحد برسند. هرچه فاصله بین P و Q کمتر باشد ، شیب قطعه بینهایت کوچک به شیب در نقطه P نزدیکتر خواهد بود ، برای استفاده از معادله مثال ما چند بار تکرار کنید ، با استفاده از نقاط (2 ؛ 4 ، 8) ، (1.5 ؛ 3.95) و (1.25 ؛ 3.49) Q را می دهند و مختصات اولیه P (1؛ 3):
   

   Q = (2 ؛ 4.8): H = (4.8 - 3) / (2 - 1)
   H = (1.8) / (1) = 1,8
   
   Q = (1.5 ؛ 3.95): H = (3.95 - 3) / (1.5 - 1)
   H = (0.95) / (0.5) = 1,9
   
   Q = (1.25 ؛ 3.49): H = (3.49 - 3) / (1.25 - 1)
   H = (0.49) / (0.25) = 1,96

5. 

   شیب قطعه بسیار کوچک منحنی نمودار را تخمین می زند. هرچه Q به P نزدیکتر و نزدیکتر شود ، H به تدریج به شیب P نزدیکتر می شود. سرانجام ، در یک خط بسیار کوچک ، H شیب P خواهد بود زیرا ما نمی توانیم اندازه گیری یا محاسبه کنیم طول یک خط بسیار کوچک است ، بنابراین فقط شیب را در P تخمین بزنید که از نقاطی که محاسبه می کنیم کاملاً مشخص باشد.
   • در مثال بالا ، وقتی H را به P نزدیکتر می کنیم ، مقادیر H برابر 1.8 را داریم. 1.9 و 1.96. از آنجا که این اعداد در حال نزدیک شدن به 2 هستند ، می توان گفت 2 مقدار تقریبی شیب در P است.
   • به یاد داشته باشید که شیب در هر نقطه از نمودار مشتق معادله نمودار در آن نقطه است. از آنجا که نمودار نشان دهنده جابجایی یک شی در طول زمان است ، همانطور که در بخش قبلی دیدیم ، سرعت آنی آن در هر نقطه مشتق فاصله جابجایی جسم در نقطه مسئله است. دسترسی ، می توان گفت 2 متر در ثانیه برآورد تقریبی سرعت آنی در زمان t = 1 است.
   تبلیغات

قسمت 3 از 3: نمونه مشکل

1. 

   سرعت آنی را وقتی t = 1 با معادله جابجایی s = 5t - 3t + 2t + 9 پیدا کنید. مانند مثال در بخش اول اما این مکعب به جای درجه دوم است ، بنابراین ما می توانیم مشکل را به همان روش حل کنیم.
   • ابتدا مشتق معادله را بگیرید:
     

     s = 5t - 3t + 2t + 9
     s = (3) 5t - (2) 3t + (1) 2t
     15t - 6t + 2t - 6t + 2

   • سپس مقدار t (4) را جایگزین می کنیم:
     

     s = 15t - 6t + 2
     15(4) - 6(4) + 2
     15(16) - 6(4) + 2
     240 - 24 + 2 = 22 متر در ثانیه

2. 

   از روش تخمین نمودار برای یافتن سرعت آنی در (1؛ 3) برای معادله جابجایی s = 4t - t استفاده کنید. برای این مشکل ، ما از مختصات (1؛ 3) به عنوان نقطه P استفاده می کنیم ، اما باید سایر نقاط Q را در نزدیکی آن پیدا کنیم. سپس تنها کاری که باید انجام دهیم این است که مقادیر H را پیدا کرده و مقدار تخمینی را استنباط کنیم.
   • ابتدا Q نقاط را وقتی t = 2 پیدا می کنیم. 1.5 1.1 و 1.01.
     

     s = 4t - t
     
     t = 2: s = 4 (2) - (2)
     4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14 ، بنابراین Q = (2 ؛ 14)
     
     t = 1.5: s = 4 (1.5) - (1.5)
     4 (2.25) - 1.5 = 9 - 1.5 = 7.5 ، بنابراین Q = (1.5؛ 7.5)
     
     t = 1.1: s = 4 (1.1) - (1.1)
     4 (1.21) - 1.1 = 4.84 - 1.1 = 3.74 ، بنابراین Q = (1.1 ؛ 3.74)
     
     t = 1.01: s = 4 (1.01) - (1.01)
     4 (1،0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704 ، بنابراین همین Q = (1.01؛ 3.0704)

   • مقادیر بعدی را دریافت خواهیم کرد:
     

     Q = (2 ؛ 14): H = (14 - 3) / (2 - 1)
     H = (11) / (1) = 11
     
     Q = (1.5 ؛ 7.5): H = (7.5 - 3) / (1.5 - 1)
     H = (4،5) / (0.5) = 9
     
     Q = (1.1 ؛ 3.74): H = (3.74 - 3) / (1.1 - 1)
     H = (0.74) / (0.1) = 7,3
     
     Q = (1.01؛ 3.0704): H = (3.0704 - 3) / (1.01 - 1)
     H = (0.0704) / (0.01) = 7,04

   • از آنجا که به نظر می رسد مقادیر H نزدیک به 7 است ، می توانیم این را بگوییم 7 متر در ثانیه تخمین تقریبی سرعت آنی در مختصات است (1؛ 3).
   تبلیغات

مشاوره

• برای یافتن شتاب (تغییر سرعت در طول زمان) ، از روش قسمت اول استفاده کنید تا مشتق معادله جابجایی را بدست آورید. سپس مشتق را دوباره برای معادله مشتق که تازه پیدا کرده اید ، بگیرید. نتیجه این است که شما یک معادله برای شتاب در یک زمان مشخص دارید - تمام کاری که شما باید انجام دهید این است که زمان را متصل کنید.
• معادله ای که رابطه بین Y (فاصله جابجایی) و X (زمان) را نشان می دهد ، می تواند بسیار ساده باشد ، زیرا Y = 6x + 3. در این حالت ، شیب ثابت است و لازم نیست مشتق برای محاسبه شیب ، یعنی از معادله اساسی Y = mx + b برای نمودار خطی پیروی می کند ، یعنی شیب برابر است با 6.
• فاصله جابجایی مانند فاصله است اما دارای یک جهت است ، بنابراین یک مقدار بردار است و سرعت یک مقدار مقیاسی است. مسافت سفر ممکن است منفی باشد ، در حالی که مسافت فقط مثبت باشد.