محتوا

• مراحل
• مشاوره
• آنچه شما نیاز دارید

در ریاضیات ، تحلیل عاملی یافتن اعداد یا عبارات با حاصلضرب یک عدد یا معادله داده شده است. تجزیه و تحلیل فاکتور مهارت مفیدی برای یادگیری برای حل مسائل اساسی جبری است: توانایی فاکتور دهی به خوبی هنگام کار بسیار مهم است. با معادلات جبری یا اشکال چند جمله ای دیگر. از تحلیل عاملی می توان برای کاهش عبارات جبری استفاده کرد و مسئله را ساده تر کرد. با تشکر از آن ، شما حتی می توانید برخی از پاسخ های ممکن را خیلی سریعتر از حل دستی ، حذف کنید.

مراحل

روش 1 از 3: تجزیه و تحلیل اعداد و اصطلاحات جبری اساسی را به عوامل تبدیل کنید

1. 

   
   
   هنگام استفاده از اعداد مجرد ، تعریف تحلیل عاملی را درک کنید. اگرچه از نظر مفهومی ساده است ، اما در عمل ، استفاده از معادلات پیچیده کاملاً چالش برانگیز است. بنابراین ، ساده ترین رویکرد مفهومی تحلیل عاملی این است که از اعداد منفرد شروع کنید و سپس به معادلات ساده بروید قبل از ادامه کار با برنامه های پیشرفته تر عامل برای یک عدد داده شده اعدادی با حاصلضرب همان تعداد هستند. به عنوان مثال ، 1 ، 12 ، 2 ، 6 ، 3 و 4 از عوامل 12 هستند زیرا 1 × 12 ، 2 × 6 و 3 × 4 همه برابر با 12 هستند.
   • به عبارت دیگر ، فاکتورهای یک عدد داده شده اعداد هستند تقسیم شده است با آن شماره
   • آیا می توانید فاکتور کامل 60 را پیدا کنید؟ عدد 60 برای مقاصد مختلف (دقیقه در یک ساعت ، ثانیه در یک دقیقه و غیره) استفاده می شود ، زیرا بر بسیاری از اعداد قابل تقسیم است.
     • عدد 60 دارای فاکتورهای زیر است: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 10 ، 12 ، 15 ، 20 ، 30 و 60.

2. 

   
   
   بدانید که عبارات حاوی متغیرها را نیز می توان فاکتور بندی کرد. علاوه بر اعداد مستقل ، متغیرهای دارای ضرایب حساب نیز می توانند فاکتور بندی شوند. برای این کار ، فقط باید عوامل ضریب متغیر را پیدا کنیم. دانستن چگونگی فاکتور بندی تجزیه و تحلیل در معادلات جبری ساده تبدیل که حاوی متغیرها هستند بسیار مفید است.
   • به عنوان مثال می توان 12x را بازنویسی کرد تا نتایج 12 و x باشد. می توان 12x را به صورت 3 (4x) ، 2 (6x) و غیره نوشت و از هر عاملی که برای استفاده در نظر گرفته شده 12 مناسب است استفاده کرد.
     • حتی می توانید تا آنالیز 12 برابر هم بروید چندین بار. به عبارت دیگر ، نیازی به توقف در 3 (4x) یا 2 (6x) نیست - ما می توانیم 4x و 6x را به ترتیب 3 (2 (2x) 2 (3 (2x)) تجزیه و تحلیل کنیم. این فرمول معادل است.

3. 

   
   
   برای فاکتور بندی معادلات جبری از خواص انجمنی ضرب استفاده کنید. با استفاده از دانش خود در مورد تجزیه و تحلیل اعداد و ضرایب مستقل به عنوان فاکتور ، می توانید معادلات جبری ساده را با یافتن فاکتورهای مشترک اعداد و متغیرهای موجود در معادله ، ساده کنید. غالباً ، برای اینکه معادله تا حد ممکن ساده باشد ، سعی خواهیم کرد بزرگترین تقسیم کننده مشترک را پیدا کنیم. این تغییر شکل ساده به لطف ماهیت انجمنی ضرب امکان پذیر است - برای هر عدد a ، b و c ، ما داریم: a (b + c) = ab + ac.
   • بیایید مثال زیر را بررسی کنیم. برای تبدیل معادله جبری 12x + 6 به یک عامل ، ابتدا بزرگترین مقسوم علیه 12x و 6 را می یابیم. 6 بزرگترین عددی است که 12x و 6 قابل تقسیم هستند ، بنابراین می توانیم به سادگی تبدیل کنیم معادله را به 6 کاهش دهید (2x + 1).
   • همین روند در مورد معادلاتی که دارای علائم و کسرهای منفی هستند اعمال می شود. به عنوان مثال x / 2 + 4 به سادگی به 1/2 (x + 8) تبدیل می شود ، و -7x + -21 می تواند به -7 (x + 3) تجزیه شود.
   تبلیغات

روش 2 از 3: تجزیه و تحلیل معادلات درجه دوم به عوامل

1. 

   اطمینان حاصل کنید که معادله به صورت درجه دوم است (ax + bx + c = 0). معادله درجه دوم شکل ax + bx + c = 0 دارد ، که در آن a ، b و c ثابت هستند و a غیر صفر است (توجه داشته باشید که a ممکن است برابر با 1 یا 1). اگر معادله یک متغیر (x) حاوی یک یا چند اصطلاح باشد که حاوی مربع x باشد ، معمولاً می توانید عملگر اصلی جبری را در یک طرف علامت مساوی به 0 تبدیل کرده و بگذارید ax و غیره. از طرف دیگر.
   • به عنوان مثال ، معادله جبری 5x + 7x - 9 = 4x + x - 18 را می توان به x + 6x + 9 = 0 تقلیل داد ، که یک فرم درجه دوم است.
   • معادلاتی که x دارای بیان بالاتر است مانند x ، x و غیره. درجه دوم نمی تواند باشد. آنها درجه دوم ، چهارم ، ... هستند مگر اینکه با حذف اصطلاحاتی که دارای قدرت 3 یا بیشتر از x هستند ، می توان معادله را کاهش داد.

2. 

   با معادلات درجه دوم ، وقتی a = 1 ، به (x + d) (x + e) ​​، جایی که d × e = c و d + e = b تجزیه می شویم. اگر معادله درجه دوم به صورت x + bx + c = 0 باشد (به عبارت دیگر ، اگر ضریب x = 1 باشد) ، این احتمال وجود دارد (اما مطمئن نیستید) که می توانیم از یک محاسبه نسبتاً سریع استفاده کنیم. ساده سازی این معادله دو عدد برابر با c پیدا کنید و جمع برابر با b. وقتی d و e را پیدا کردید ، آنها را با عبارت زیر جایگزین کنید: (x + d) (x + e). این دو عنصر وقتی با هم ضرب می شوند ، معادله درجه دوم فوق را به ما می دهند - به عبارت دیگر ، آنها عوامل معادله هستند.
   • به عنوان مثال معادله درجه دوم x + 5x + 6 = 0. 3 و 2 دارای یک محصول 6 و در همان زمان ، در مجموع 5 دارند. بنابراین ، ما می توانیم معادله را به (x + 3) تبدیل کنیم ( x + 2)
   • وقتی معادله کمی متفاوت باشد ، این راه حل سریع اساسی کمی متفاوت خواهد بود:
     • اگر معادله درجه دوم به صورت x-bx + c باشد ، پاسخ شما به شکل زیر خواهد بود: (x - _) (x - _).
     • اگر به شکل x + bx + c باشد ، پاسخ شما این خواهد بود: (x + _) (x + _).
     • اگر در x-bx-c باشد ، پاسخ شما به شکل (x + _) (x - _) خواهد بود.
   • توجه: در فضاها می تواند کسری یا اعشاری باشد. به عنوان مثال ، معادله x + (21/2) x + 5 = 0 به (x + 10) (x + 1/2) تجزیه می شود.

3. 

   
   
   در صورت امکان ، تجزیه و تحلیل عامل را با آزمایش انجام دهید. باور کنید یا نه ، با معادله درجه دوم بدون عارضه ، یکی از روشهای فاکتوراسیون پذیرفته شده صرفاً بررسی مسئله است ، و سپس سنجیدن تمام پاسخهای ممکن تا رسیدن به نتیجه. پاسخ صحیح. همچنین به عنوان روش آزمون شناخته می شود.اگر معادله فرم ax + bx + c و a> 1 داشته باشد ، فاکتوراسیون شما به صورت (dx +/- _) (ex +/- _) خواهد بود ، جایی که d و e ثابت هستند دیگری با a برابر نیست. d یا e (یا هر دو) ممکن است برابر با 1 است ، گرچه لزوماً نخواهد بود. اگر هر دو برابر 1 باشد ، شما اساساً از کار سریع نشان داده شده در بالا استفاده می کردید.
   • مثال زیر را در نظر بگیرید. در نگاه اول ، 3x - 8x + 4 بسیار ترسناک به نظر می رسد. با این حال ، اگر متوجه شوید که 3 فقط دو عامل دارد (3 و 1) ، مشکل آسانتر می شود زیرا می دانیم که جواب باید به شکل (3x +/- _) باشد (x +/- _). در این حالت ، جایگزینی -2 در هر دو فاصله جواب صحیحی می دهد. -2 × 3x = -6x و -2 × x = -2x. -6x و -2x در کل برابر با -8x. -2 × -2 = 4 ، بنابراین ، می توان دریافت که عناصر تجزیه شده در پرانتز معادله اولیه را به ما می دهند.

4. 

   
   
   با تکمیل مربع مسئله را حل کنید. در بعضی موارد ، معادلات درجه دوم را می توان با استفاده از یک هویت خاص جبری به سرعت و به راحتی ضرب کرد. هر معادله درجه دوم از فرم x + 2xh + h = (x + h). بنابراین ، اگر در معادله ، b دو برابر ریشه مربع c باشد ، می توان معادله را به (x + (sqrt (c)) تجزیه کرد.
   • برای مثال ، معادله x + 6x + 9 برای این فرم کار می کند. 3 برابر 9 و 3 × 2 برابر 6 است. بنابراین می دانیم که فرم فاکتوراسیون این معادله (x + 3) (x + 3) یا (x + 3) است.

5. 

   
   
   معادلات درجه دوم را با عوامل حل کنید. در هر صورت ، وقتی فاکتور درجه دوم فاکتور بندی شد ، می توانید با دادن صفر به هر عامل و حل آن ، جواب احتمالی مقدار x را پیدا کنید. از آنجا که شما به دنبال مقدار x هستید تا معادله صفر باشد ، هر x که باعث صفر شدن یک عامل شود یک راه حل ممکن برای آن معادله خواهد بود.
   • به معادله x + 5x + 6 = 0 برگردید. این به (x + 3) (x + 2) = 0 تجزیه می شود. وقتی یک عامل صفر باشد ، کل معادله صفر می شود. راه حل های احتمالی x اعدادی هستند که (x + 3) و (x + 2) به ترتیب برابر با 0 ، -3 و -2 می شوند.

6. 

   پاسخ های خود را بررسی کنید - برخی ممکن است عجیب و غریب باشند! وقتی راه حل های احتمالی x پیدا کردید ، آنها را با معادله اصلی جایگزین کنید تا درست یا نه بودن آنها را تعیین کنید. گاهی اوقات ، جواب آن را پیدا می کند مشکلی نیست هنگام تعویض باعث می شود معادله اصلی صفر شود. ما این راه حل ها را می نامیم خارجی و آنها را از بین ببرید.
   • بگذارید -2 و -3 را برای x + 5x + 6 = 0 جایگزین کنیم. اول ، -2:
     • (-2) + 5(-2) + 6 = 0
     • 4 + -10 + 6 = 0
     • 0 = 0. بله ، بنابراین -2 یک راه حل معتبر از معادله است.
   • حالا ، اجازه دهید با -3 امتحان کنید:
     • (-3) + 5(-3) + 6 = 0
     • 9 + -15 + 6 = 0
     • 0 = 0. این نیز درست است و بنابراین ، -3 نیز یک راه حل معتبر از معادله است.
   تبلیغات

روش 3 از 3: انواع دیگر معادلات را به عنوان فاکتور تجزیه و تحلیل کنید

1. 

   اگر معادله به شکل a-b است ، آن را به (a + b) (a-b) تجزیه کنید. معادله دو متغیر متفاوت از معادله درجه دوم اساسی تجزیه و تحلیل می شود. هر معادله a-b که a و b غیر صفر باشند به (a + b) (a-b) تجزیه می شود.
   • به عنوان مثال ، معادله 9x - 4y = (3x + 2y) (3x - 2y).

2. 

   اگر این معادله به شکل a + 2ab + b است ، آن را به (a + b) تجزیه کنید. توجه داشته باشید که اگر مثلث به شکل a باشد-2ab + b ، فرم فاکتور بندی کمی متفاوت خواهد بود: (a-b).
   • معادلات 4x + 8xy + 4y را می توان به صورت 4x + (2 × 2 × 2) xy + 4y بازنویسی کرد. حال می بینیم که به شکل صحیحی است و می توان با اطمینان گفت که فرم فاکتورهای این معادله (2x + 2y) است.

3. 

   اگر معادله به شکل a-b است ، آن را به (a-b) (a + ab + b) تجزیه کنید. در آخر باید گفت که معادلات سه گانه و حتی معادلات مرتبه بالاتر را می توان فاکتور بندی کرد. با این حال ، روند تجزیه و تحلیل به سرعت فوق العاده پیچیده خواهد شد.
   • به عنوان مثال ، 8x - 27y به (2x - 3y) تجزیه می شود (4x + ((2x) (3y)) + 9y)
   تبلیغات

مشاوره

• a-b را می توان فاکتور بندی کرد و a + b را نمی توان.
• به یاد داشته باشید که چگونه می توان ثابت ها را فاکتور بندی کرد - ممکن است کمک کند.
• در فرآیند فاکتور بندی به کسرها توجه کنید ، آنها را به طور صحیح و مناسب اداره کنید.
• با سه گانه x + bx + (b / 2) ، فاکتوراسیون آن (x + (b / 2)) خواهد بود (ممکن است هنگام تکمیل مربع با این وضعیت روبرو شوید).
• به یاد داشته باشید که a0 = 0 (ویژگی ضرب در صفر).

آنچه شما نیاز دارید

• کاغذ
• مداد
• کتاب ریاضی (در صورت نیاز)