محتوا

• مراحل
• قسمت 1 از 4: چگونه معادله بنویسیم
• قسمت 2 از 4: نحوه نوشتن الگوریتم اقلیدس
• قسمت 3 از 4: نحوه یافتن راه حل با استفاده از الگوریتم اقلیدس
• قسمت 4 از 4: بی نهایت راه حل های دیگر را بیابید

برای حل معادله دیوفانتین خطی ، باید مقادیر متغیرهای "x" و "y" را که اعداد صحیح هستند ، بیابید. یک راه حل صحیح پیچیده تر از معمول است و به مجموعه خاصی از اقدامات نیاز دارد. ابتدا باید بزرگترین تقسیم کننده مشترک (GCD) ضرایب را محاسبه کرده و سپس راه حلی پیدا کنید. هنگامی که یک راه حل صحیح برای یک معادله خطی پیدا کردید ، می توانید از یک الگوی ساده برای یافتن بی نهایت راه حل دیگر استفاده کنید.

مراحل

قسمت 1 از 4: چگونه معادله بنویسیم

1. 1 معادله را به صورت استاندارد بنویسید. معادله خطی معادله ای است که در آن ضرایب متغیرها از 1 تجاوز نمی کند. برای حل چنین معادله خطی ، ابتدا آن را به صورت استاندارد بنویسید. شکل استاندارد یک معادله خطی به این شکل است: ${ displaystyle Ax + By = C}$، جایی که ${ displaystyle A ، B}$ و ${ displaystyle C}$ - تمام اعداد.
   • اگر معادله به شکل دیگری ارائه شده است ، با استفاده از عملیات جبری اولیه آن را به حالت استاندارد در آورید. به عنوان مثال ، با توجه به معادله ${ displaystyle 23x + 4y -7x = -3y + 15}$... اصطلاحات مشابهی بدهید و معادله را به صورت زیر بنویسید: ${ displaystyle 16x + 7y = 15}$.
2. 2 معادله را ساده کنید (در صورت امکان). وقتی معادله را به صورت استاندارد می نویسید ، به ضرایب توجه کنید ${ displaystyle A ، B}$ و ${ displaystyle C}$... اگر این شانس دارای GCD هستند ، هر سه شانس را بر آن تقسیم کنید. راه حل چنین معادله ساده شده نیز راه حل معادله اصلی خواهد بود.
   • به عنوان مثال ، اگر هر سه ضریب زوج باشند ، آنها را حداقل بر 2 تقسیم کنید. به عنوان مثال:
     • ${ displaystyle 42x + 36y = 48}$ (همه اعضا بر 2 بخش پذیر هستند)
     • ${ displaystyle 21x + 18y = 24}$ (در حال حاضر همه اعضا بر 3 بخش پذیر هستند)
     • ${ displaystyle 7x + 6y = 8}$ (دیگر نمی توان این معادله را ساده کرد)
3. 3 بررسی کنید که آیا معادله قابل حل است یا خیر. در برخی موارد ، می توانید بلافاصله بیان کنید که این معادله راه حلی ندارد. اگر ضریب "C" بر GCD بر ضرایب "A" و "B" قابل تقسیم نباشد ، معادله راه حل ندارد.
   • به عنوان مثال ، اگر هر دو ضریب ${ displaystyle A}$ و ${ displaystyle B}$ هستند ، پس ضریب ${ displaystyle C}$ باید یکنواخت باشد اما اگر ${ displaystyle C}$ عجیب ، پس هیچ راه حلی وجود ندارد
     • معادله ${ displaystyle 2x + 4y = 21}$ بدون راه حل های صحیح
     • معادله ${ displaystyle 5x + 10y = 17}$ هیچ راه حل صحیح وجود ندارد زیرا سمت چپ معادله بر 5 بخش پذیر است و سمت راست اینطور نیست.

قسمت 2 از 4: نحوه نوشتن الگوریتم اقلیدس

1. 1 درک الگوریتم اقلیدس این مجموعه ای از تقسیمات مکرر است که در آن باقی مانده قبلی به عنوان تقسیم کننده بعدی استفاده می شود. آخرین تقسیم کننده ای که اعداد را به صورت یکپارچه تقسیم می کند ، بزرگترین تقسیم کننده مشترک (GCD) این دو عدد است.
   • برای مثال ، بیایید GCD اعداد 272 و 36 را با استفاده از الگوریتم اقلیدس پیدا کنیم:
     • ${ displaystyle 272 = 7 * 36 + 20}$ - عدد بزرگتر (272) را بر عدد کوچکتر تقسیم کنید (36) و به بقیه (20) توجه کنید.
     • ${ displaystyle 36 = 1 * 20 + 16}$ - تقسیم کننده قبلی (36) را بر باقی مانده قبلی (20) تقسیم کنید. به باقی مانده جدید (16) توجه کنید.
     • ${ displaystyle 20 = 1 * 16 + 4}$ - تقسیم کننده قبلی (20) را بر باقی مانده قبلی (16) تقسیم کنید. به باقی مانده جدید (4) توجه کنید.
     • ${ displaystyle 16 = 4 * 4 + 0}$ - تقسیم کننده قبلی (16) را بر باقی مانده قبلی (4) تقسیم کنید. از آنجا که باقی مانده 0 است ، می توان گفت که 4 GCD دو عدد اصلی 272 و 36 است.
2. 2 الگوریتم اقلیدس را روی ضرایب "A" و "B" اعمال کنید. وقتی معادله خطی را به صورت استاندارد می نویسید ، ضرایب "A" و "B" را تعیین کنید و سپس الگوریتم اقلیدس را برای یافتن GCD روی آنها اعمال کنید. به عنوان مثال ، با استفاده از یک معادله خطی ${ displaystyle 87x-64y = 3}$.
   • در اینجا الگوریتم اقلیدس برای ضرایب A = 87 و B = 64 آمده است:
     • ${ displaystyle 87 = 1 * 64 + 23}$
     • ${ displaystyle 64 = 2 * 23 + 18}$
     • ${ displaystyle 23 = 1 * 18 + 5}$
     • ${ displaystyle 18 = 3 * 5 + 3}$
     • ${ displaystyle 5 = 1 * 3 + 2}$
     • ${ displaystyle 3 = 1 * 2 + 1}$
     • ${ displaystyle 2 = 2 * 1 + 0}$
3. 3 بزرگترین عامل مشترک (GCD) را بیابید. از آنجا که آخرین تقسیم کننده 1 بود ، GCD 87 و 64 1 است. بنابراین ، 87 و 64 اعداد اول نسبت به یکدیگر هستند.
4. 4 نتیجه را تجزیه و تحلیل کنید. وقتی ضرایب gcd را پیدا کردید ${ displaystyle A}$ و ${ displaystyle B}$، آن را با ضریب مقایسه کنید ${ displaystyle C}$ معادله اصلی اگر ${ displaystyle C}$ قابل تقسیم بر gcd ${ displaystyle A}$ و ${ displaystyle B}$، معادله دارای یک عدد صحیح است. در غیر این صورت معادله راه حل ندارد.
   • به عنوان مثال ، معادله ${ displaystyle 87x-64y = 3}$ قابل حل است زیرا 3 بر 1 بخش پذیر است (gcd = 1).
   • برای مثال GCD = 5 فرض کنید. 3 به طور مساوی بر 5 بخش پذیر نیست ، بنابراین این معادله هیچ راه حل صحیح ندارد.
   • همانطور که در زیر نشان داده شده است ، اگر معادله ای دارای یک عدد صحیح باشد ، دارای بی نهایت حل عدد صحیح دیگر نیز می باشد.

قسمت 3 از 4: نحوه یافتن راه حل با استفاده از الگوریتم اقلیدس

1. 1 مراحل محاسبه GCD را شماره گذاری کنید. برای یافتن راه حل معادله خطی ، باید از الگوریتم اقلیدسی به عنوان پایه ای برای فرایند جایگزینی و ساده سازی استفاده کنید.
   • با شماره گذاری مراحل محاسبه GCD شروع کنید. فرایند محاسبه به شرح زیر است:
     • ${ displaystyle { text {مرحله 1}}: 87 = (1 * 64) +23}$
     • ${ displaystyle { text {مرحله 2}}: 64 = (2 * 23) +18}$
     • ${ displaystyle { text {مرحله 3}}: 23 = (1 * 18) +5}$
     • ${ displaystyle { text {مرحله 4}}: 18 = (3 * 5) +3}$
     • ${ displaystyle { text {مرحله 5}}: 5 = (1 * 3) +2}$
     • ${ displaystyle { text {مرحله 6}}: 3 = (1 * 2) +1}$
     • ${ displaystyle { text {مرحله 7}}: 2 = (2 * 1) +0}$
2. 2 به آخرین مرحله توجه کنید ، جایی که باقی مانده است. معادله این مرحله را بازنویسی کنید تا بقیه را جدا کنید.
   • در مثال ما ، آخرین مرحله باقیمانده مرحله 6 است. باقی مانده 1 است. معادله را در مرحله 6 به صورت زیر بازنویسی کنید:
     • ${ displaystyle 1 = 3- (1 * 2)}$
3. 3 بقیه مرحله قبل را جدا کنید. این فرایند گام به گام "حرکت به سمت بالا" است. هر بار باقی مانده را در معادله مرحله قبل جدا می کنید.
   • بقیه معادله را در مرحله 5 جدا کنید:
     • ${ displaystyle 2 = 5- (1 * 3)}$ یا ${ displaystyle 2 = 5-3}$
4. 4 جایگزین و ساده کنید. توجه کنید که معادله در مرحله 6 شامل عدد 2 است و در معادله در مرحله 5 ، عدد 2 جدا شده است. بنابراین به جای "2" در معادله در مرحله 6 ، عبارت را در مرحله 5 جایگزین کنید:
   • ${ displaystyle 1 = 3-2}$ (معادله مرحله 6)
   • ${ displaystyle 1 = 3- (5-3)}$ (به جای 2 ، عبارت جایگزین شد)
   • ${ displaystyle 1 = 3-5 + 3}$ (براکت های باز شده)
   • ${ displaystyle 1 = 2 (3) -5}$ (ساده شده)
5. 5 فرآیند جایگزینی و ساده سازی را تکرار کنید. فرآیند توصیف شده را تکرار کنید و از طریق الگوریتم اقلیدسی به ترتیب معکوس حرکت کنید. هر بار معادله مرحله قبل را بازنویسی کرده و آن را به آخرین معادله بدست آمده وصل می کنید.
   • آخرین مرحله ای که ما بررسی کردیم مرحله 5 بود. بنابراین به مرحله 4 بروید و باقی مانده را در معادله آن مرحله جدا کنید:
     • ${ displaystyle 3 = 18- (3 * 5)}$
   • این عبارت را با "3" در آخرین معادله جایگزین کنید:
     • ${ displaystyle 1 = 2 (18-3 * 5) -5}$
     • ${ displaystyle 1 = 2 (18) -6 (5) -5}$
     • ${ displaystyle 1 = 2 (18) -7 (5)}$
6. 6 روند جایگزینی و ساده سازی را ادامه دهید. این روند تا زمانی که به مرحله اولیه الگوریتم اقلیدسی نرسیده اید ، تکرار می شود. هدف این فرایند نوشتن معادله با ضرایب 87 و 64 معادله اصلی است که باید حل شود. در مثال ما:
   • ${ displaystyle 1 = 2 (18) -7 (5)}$
   • ${ displaystyle 1 = 2 (18) -7 (23-18)}$ (عبارت مرحله 3 را جایگزین کرد)
     • ${ displaystyle 1 = 2 (18) -7 (23) +7 (18)}$
     • ${ displaystyle 1 = 9 (18) -7 (23)}$
   • ${ displaystyle 1 = 9 (64-2 * 23) -7 (23)}$ (عبارت مرحله 2 را جایگزین کرد)
     • ${ displaystyle 1 = 9 (64) -18 (23) -7 (23)}$
     • ${ displaystyle 1 = 9 (64) -25 (23)}$
   • ${ displaystyle 1 = 9 (64) -25 (87-64)}$ (عبارت مرحله 1 را جایگزین کرد)
     • ${ displaystyle 1 = 9 (64) -25 (87) +25 (64)}$
     • ${ displaystyle 1 = 34 (64) -25 (87)}$
7. 7 معادله به دست آمده را مطابق ضرایب اصلی بازنویسی کنید. وقتی به اولین مرحله الگوریتم اقلیدسی بازگشتید ، خواهید دید که معادله به دست آمده شامل دو ضریب معادله اصلی است. معادله را طوری بازنویسی کنید که ترتیب عبارات آن با ضرایب معادله اصلی مطابقت داشته باشد.
   • در مثال ما ، معادله اصلی ${ displaystyle 87x-64y = 3}$... بنابراین ، معادله به دست آمده را بازنویسی کنید تا ضرایب در یک راستا قرار گیرند.توجه ویژه ای به ضریب "64" داشته باشید. در معادله اصلی ، این ضریب منفی است و در الگوریتم اقلیدسی ، مثبت است. بنابراین ، عامل 34 باید منفی شود. معادله نهایی به این صورت نوشته می شود:
     • ${ displaystyle 87 (-25) -64 (-34) = 1}$
8. 8 برای یافتن راه حل ، ضرب کننده مناسب را اعمال کنید. توجه داشته باشید که در مثال ما ، GCD = 1 ، بنابراین معادله نهایی 1 است. اما معادله اصلی (87x-64y) 3 است. بنابراین ، برای به دست آوردن راه حل ، همه عبارتهای معادله نهایی باید در 3 ضرب شود:
   • ${ displaystyle 87 (-25 * 3) -64 (-34 * 3) = 1 * 3}$
   • ${ displaystyle 87 (-75) -64 (-102) = 3}$
9. 9 حل عدد صحیح معادله را بنویسید. اعدادی که در ضرایب معادله اصلی ضرب می شوند ، راه حل های آن معادله هستند.
   • در مثال ما ، راه حل را به صورت یک جفت مختصات بنویسید: ${ displaystyle (x ، y) = ( - 75 ، -102)}$.

قسمت 4 از 4: بی نهایت راه حل های دیگر را بیابید

1. 1 بدانید که تعداد بیشماری راه حل وجود دارد. اگر یک معادله خطی دارای یک عدد صحیح باشد ، پس باید بی نهایت تعداد عدد صحیح داشته باشد. در اینجا یک اثبات سریع (به شکل جبری) وجود دارد:
   • ${ displaystyle Ax + By = C}$
   • ${ displaystyle A (x + B) + B (y-A) = C}$ (اگر "B" را به "x" اضافه کنید و "A" را از "y" کم کنید ، مقدار معادله اصلی تغییر نمی کند)
2. 2 مقادیر اصلی x و y را ثبت کنید. الگوی محاسبه راه حل های بعدی (نامحدود) با تنها راه حلی که قبلاً پیدا کرده اید شروع می شود.
   • در مثال ما ، راه حل یک جفت مختصات است ${ displaystyle (x ، y) = ( - 75 ، -102)}$.
3. 3 ضریب "B" را به مقدار "x" اضافه کنید. برای پیدا کردن مقدار x جدید این کار را انجام دهید.
   • در مثال ما ، x = -75 و B = -64:
     • ${ displaystyle x = -75 + ( - 64) = - 139}$
   • بنابراین ، مقدار جدید "x": x = -139.
4. 4 عامل "A" را از مقدار "y" کم کنید. به طوری که مقدار معادله اصلی تغییر نکند ، هنگام اضافه کردن یک عدد به "x" ، باید عددی دیگر را از "y" کم کنید.
   • در مثال ما ، y = -102 و A = 87:
     • ${ displaystyle y = -102-87 = -189}$
   • بنابراین ، مقدار جدید برای "y": y = -189.
   • جفت مختصات جدید به این صورت نوشته می شود: ${ displaystyle (x ، y) = ( - 139 ، -189)}$.
5. 5 محلول را بررسی کنید. برای تأیید اینکه جفت مختصات جدید یک راه حل برای معادله اصلی است ، مقادیر را به معادله وصل کنید.
   • ${ displaystyle 87x-64y = 3}$
   • ${ displaystyle 87 (-139) -64 (-189) = 3}$
   • ${ displaystyle 3 = 3}$
   • از آنجا که برابری رعایت شده است ، تصمیم صحیح است.
6. 6 عبارات را بنویسید تا راه حل های زیادی بیابید. مقادیر "x" با محلول اصلی به علاوه هر چند ضریب "B" برابر خواهد بود. این را می توان به عنوان عبارت زیر نوشت:
   • x (k) = x + k (B) ، جایی که "x (k)" مجموعه مقادیر "x" و "x" مقدار اولیه (اول) "x" است که پیدا کرده اید.
     • در مثال ما:
     • ${ displaystyle x (k) = - 75-64k}$
   • y (k) = y-k (A) ، جایی که y (k) مجموعه مقادیر y و y مقدار اصلی (اولین) y است که پیدا کرده اید.
     • در مثال ما:
     • ${ displaystyle y (k) = - 102-87k}$