محتوا

• مراحل
• نکات

تابع منطقی دارای شکل y = N (x) / D (x) است ، جایی که N و D چند جمله ای هستند. برای ترسیم دقیق چنین عملکردی ، شما نیاز به دانش خوبی از جبر ، از جمله محاسبات افتراقی دارید. به مثال زیر توجه کنید: y = (2ایکس - 6ایکس + 5)/(4ایکس + 2).

مراحل

1. 1 قطع y را در نمودار بیابید. برای انجام این کار ، x = 0 را در تابع جایگزین کنید و y = 5/2 را بدست آورید. بنابراین ، نقطه تقاطع نمودار با محور Y دارای مختصات است (0 ، 5/2).این نقطه را در صفحه مختصات قرار دهید.
2. 2 مجانب افقی را بیابید. برای تعیین رفتار "y" با مقادیر "x" به سمت بی نهایت ، عدد را بر مخرج (در ستون) تقسیم کنید. در مثال ما ، تقسیم خواهد بود y = (1/2)ایکس - (7/4) + 17/(8ایکس + 4). برای مقادیر مثبت یا منفی بزرگ "x" 17 / (8ایکس + 4) به صفر متمایل می شود و نمودار به خط مستقیم داده شده توسط تابع نزدیک می شود y = (1/2)ایکس - (7/4). با استفاده از خط نقطه ، این تابع را رسم کنید.
   • اگر درجه شمارنده کمتر از درجه مخرج باشد ، نمی توانید شمارنده را بر مخرج تقسیم کنید و مجانب با تابع توصیف می شود در = 0.
   • اگر درجه شمارنده برابر با درجه مخرج باشد ، مجانب یک خط افقی برابر با نسبت ضرایب "x" در بالاترین درجه است.
   • اگر درجه شمارنده 1 بیشتر از درجه مخرج باشد ، مجانب یک خط مستقیم مایل است که شیب آن برابر است با نسبت ضرایب "x" به بالاترین درجه.
   • اگر درجه شمارنده بیشتر از درجه مخرج 2 ، 3 و غیره باشد ، پس برای مقادیر بزرگ |NS| معنی در تمایل به بی نهایت (مثبت یا منفی) به شکل مربع ، مکعب یا درجه دیگر چند جمله ای دارد. در این مورد ، به احتمال زیاد ، نیازی به ساخت نمودار دقیق از تابع بدست آمده از تقسیم شمارنده بر مخرج نیست.
3. 3 صفرهای تابع را بیابید. یک تابع منطقی زمانی صفر دارد که شمارنده آن صفر باشد ، یعنی N (NS) = 0. در مثال ما ، 2ایکس - 6ایکس + 5 = 0. ممیز این معادله درجه دوم: ب - 4ac = 6 - 4 * 2 * 5 = 36 - 40 = -4. از آنجا که ممیز منفی است ، پس N (NS) ، و از این رو F (NS) ریشه واقعی ندارد نمودار یک تابع منطقی محور X را قطع نمی کند. اگر تابع صفر (ریشه) داشته باشد ، آنها را در صفحه مختصات قرار دهید.
4. 4 مجانب عمودی را بیابید. برای انجام این کار ، مخرج را روی صفر قرار دهید. در مثال ما ، 4ایکس + 2 = 0 و NS = -1/2. با استفاده از خط نقطه نقطه ، مجانمع عمودی را ترسیم کنید. اگر برای برخی از ارزش NS N (NS) = 0 و D (NS) = 0 ، پس مجانب عمودی یا وجود دارد یا وجود ندارد (این مورد نادر است ، اما بهتر است آن را به خاطر بسپارید).
5. 5 به باقیمانده عدد تقسیم بر مخرج نگاه کنید. مثبت است ، منفی است یا صفر؟ در مثال ما ، باقی مانده 17 است که مثبت است. مخرج 4ایکس + 2 مثبت در سمت راست مجانب عمودی و منفی در سمت چپ آن. این بدان معنی است که نمودار عملکرد منطقی برای مقادیر مثبت بزرگ NS به علامت بالا از بالا و برای مقادیر منفی بزرگ نزدیک می شود NS - در ذیل. از تاریخ 17 / (8ایکس + 4) هرگز برابر صفر نیست ، سپس نمودار این تابع هرگز خط مستقیم مشخص شده توسط تابع را قطع نخواهد کرد در = (1/2)NS - (7/4).
6. 6 اکسترم های محلی را پیدا کنید. یک اکستروم محلی برای N وجود دارد (ایکس) D (ایکس) - N (ایکس) D '(ایکس) = 0. در مثال ما ، N ’(ایکس) = 4ایکس - 6 و D '(ایکس) = 4. N ’(ایکس) D (ایکس) - N (ایکس) D '(ایکس) = (4ایکس - 6)(4ایکس + 2) - (2ایکس - 6ایکس + 5)*4 = ایکس + ایکس - 4 = 0. با حل این معادله ، آن را پیدا می کنید ایکس = 3/2 و ایکس = -5/2. (این مقادیر کاملاً دقیق نیستند ، اما برای مواردی که نیازی به دقت دقیق نیست مناسب هستند.)
7. 7 مقدار را پیدا کنید در برای هر اکستروم محلی برای انجام این کار ، مقادیر را جایگزین کنید NS به عملکرد منطقی اولیه در مثال ما ، f (3/2) = 1/16 و f (-5/2) = -65/16. نقاط (3/2 ، 1/16) و (-5/2 ، -65/16) را در صفحه مختصات کنار بگذارید. از آنجا که محاسبات بر اساس مقادیر تقریبی (از مرحله قبل) است ، حداقل و حداکثر یافت شده نیز کاملاً دقیق نیستند (اما احتمالاً بسیار نزدیک به مقادیر دقیق). (نقطه (3/2 ، 1/16) بسیار نزدیک به حداقل محلی است. از مرحله 3 شروع می کنیم ، می دانیم که در همیشه مثبت برای NS> -1/2 ، و ما مقدار کمی (1/16) پیدا کردیم. بنابراین ، مقدار خطا در این مورد بسیار کم است.)
8. 8 نقاط معلق را متصل کرده و نمودار را به صورت هموار به هموار بسازید (جهت صحیح نمودار را که به مجانب نزدیک می شود فراموش نکنید). به یاد داشته باشید که نمودار نباید از محور X عبور کند (مرحله 3 را ببینید). نمودار همچنین با مجانب افقی و عمودی تلاقی نمی کند (مرحله 5 را ببینید). جهت نمودار را تغییر ندهید مگر در نقاط شدید یافت شده در مرحله قبل.

نکات

• اگر مراحل فوق را به دقت دنبال کرده اید ، دیگر نیازی به محاسبه مشتقات دوم (یا مقادیر پیچیده مشابه) برای آزمایش راه حل خود ندارید.
• اگر نیازی به محاسبه مقادیر کمیت ها ندارید ، می توانید با محاسبه چند جفت مختصات اضافی ، یافتن اکسترم محلی را جایگزین کنید (NS, در) بین هر جفت مجانبی. علاوه بر این ، اگر به نحوه عملکرد روش توصیف شده اهمیت نمی دهید ، متعجب نشوید چرا نمی توانید مشتق را پیدا کرده و معادله N را حل کنید (ایکس) D (ایکس) - N (ایکس) D '(ایکس) = 0.
• در برخی موارد ، مجبور خواهید بود با چند جمله ای مرتبه بالاتر کار کنید. اگر نمی توانید با استفاده از فاکتورسازی ، فرمول ها و غیره راه حل دقیق را بیابید ، سپس با استفاده از روش های عددی مانند روش نیوتن ، راه حل های احتمالی را برآورد کنید.
• در موارد نادر ، شمارنده و مخرج یک عامل متغیر مشترک دارند. با توجه به مراحل شرح داده شده ، این منجر به صفر و یک مجانمع عمودی در همان مکان می شود. با این حال ، این امکان پذیر نیست و توضیح یکی از موارد زیر است:
  • صفر در N (NS) دارای ضریب بیشتر از صفر در D (NS) نمودار F (NS) در این مرحله به صفر می رسد ، اما در آنجا تعریف نشده است. این را با کشیدن یک دایره در اطراف نقطه مشخص کنید.
  • صفر در N (NS) و صفر در D (NS) دارای تعدد یکسان هستند. نمودار با این مقدار به نقطه غیر صفر نزدیک می شود NSاما در آن تعریف نشده است با کشیدن یک دایره در اطراف نقطه ، این را نشان دهید.
  • صفر در N (NS) دارای ضریب کمتر از صفر در D (NS) در اینجا یک مجانمع عمودی وجود دارد.