محتوا

• گام برداشتن
• روش 1 از 2: کشیدن ریشه با فاکتورهای اصلی
• روش 2 از 2: یافتن ریشه های مربع بدون ماشین حساب
• با تقسیم طولانی
• روش کار را بفهمید
• نکات
• هشدارها

قبل از ظهور ماشین حساب ها ، دانشجویان و استادان باید ریشه های مربع را با قلم و کاغذ محاسبه می کردند. در آن زمان تکنیک های مختلفی برای مقابله با این کار بعضاً دشوار تولید شده است ، برخی تخمین تقریبی می دهند و برخی دیگر مقدار دقیق را محاسبه می کنند. برای یادگیری نحوه یافتن ریشه مربع یک عدد در چند مرحله آسان ، به ادامه مطلب بروید.

گام برداشتن

روش 1 از 2: کشیدن ریشه با فاکتورهای اصلی

1. تعداد خود را به فاکتورهای قدرت تقسیم کنید. این روش از فاکتورهای یک عدد برای یافتن ریشه مربع یک عدد استفاده می کند (بسته به تعداد ، می تواند یک پاسخ دقیق یا برآورد باشد). عوامل از یک عدد معین توالی اعدادی است که با هم ضرب می شوند تا آن عدد خاص را تشکیل دهند. به عنوان مثال ، می توانید بگویید که فاکتورهای 8 برابر 2 و 4 هستند زیرا 2 × 4 = 8. از طرف دیگر ، مربع های کامل اعداد صحیحی هستند که محصول سایر اعداد صحیح هستند. به عنوان مثال ، 25 ، 36 و 49 مربع کامل هستند زیرا به ترتیب برابر با 5 ، 6 و 7 هستند. فاکتورهای قدرت دوم ، همانطور که خواهید فهمید ، عواملی هستند که مربع های کاملی نیز هستند. برای یافتن یک ریشه مربع با استفاده از فاکتورهای اول ، ابتدا سعی کنید عدد را به فاکتورهای قدرت دوم آن تقسیم کنید.
   • مثال زیر را بگیرید. ما می خواهیم ریشه مربع 400 را پیدا کنیم. برای شروع ، تعداد را به فاکتورهای قدرت تقسیم می کنیم. از آنجا که 400 مضربی از 100 است ، می دانیم که به طور مساوی بر 25 قابل تقسیم است - یک مربع کامل. چرخش سریع به ما می گوید که 400/25 = 16.16 نیز اتفاقاً یک مربع کامل است. بنابراین فاکتورهای مکعب 400 هستند 25 و 16 زیرا 25 × 16 = 400.
   • این را به صورت زیر می نویسیم: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
2. ریشه های مربع فاکتورهای قدرت دوم خود را بگیرید. قانون محصول ریشه های مربع بیان می کند که برای هر تعداد مشخص است آ و ب، Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). به دلیل این ویژگی ، اکنون می توانیم ریشه های مربع فاکتورهای مربع را گرفته و آنها را در هم ضرب کنیم تا جواب بگیریم.
   • در مثال ما ، ریشه های مربع 25 و 16 را می گیریم:
     • مربع (25 × 16)
     • Sqrt (25) × Sqrt (16)
     • 5 × 4 = 20
3. اگر شماره شما به طور کامل قابل ثبت نیست ، آن را ساده کنید. در واقع ، اعدادی که می خواهید ریشه های مربع آنها را تعیین کنید اعداد گرد خوب با مربع های خوب مانند 400 خوب نخواهند بود. در این موارد ، ممکن است به عنوان پاسخ یک عدد کامل بدست نیاید. درعوض ، با استفاده از تمام فاکتورهای قدرت که می توانید پیدا کنید ، می توانید جواب را به عنوان یک ریشه مربع کوچکتر و با کاربرد آسان تعیین کنید. شما این کار را با کاهش تعداد به ترکیبی از عوامل قدرت و سایر عوامل و سپس ساده سازی آن انجام می دهید.
   • ریشه مربع 147 را مثال می زنیم. 147 حاصل دو مربع کامل نیست ، بنابراین نمی توان یک مقدار صحیح صحیح بدست آورد. اما این محصول یک مربع کامل و یک عدد دیگر است - 49 و 3. ما می توانیم با استفاده از این اطلاعات پاسخ خود را به ساده ترین عبارت بنویسیم:
     • Sqrt (147)
     • = مربع (49 × 3)
     • = Sqrt (49) × Sqrt (3)
     • = 7 × میدان (3)
4. در صورت لزوم ساده کنید. با استفاده از ساده ترین اصطلاح مربع ، معمولاً به راحتی می توان با تخمین ریشه های مربع باقیمانده و ضرب آنها ، تقریبی از پاسخ را بدست آورد. یکی از راه های بهبود حدس های خود این است که مربع های عالی را در هر دو طرف تعداد ریشه مربع خود پیدا کنید. شما می دانید که مقدار اعشاری عدد در ریشه مربع شما جایی بین این دو عدد است ، بنابراین حدس شما نیز باید بین این اعداد باشد.
   • بیایید به مثال خود برگردیم. از آنجا که 2 = 4 و 1 = 1 ، می دانیم که Sqrt (3) بین 1 تا 2 است - احتمالاً به 2 از 1 نزدیکتر است. ما تخمین می زنیم که 1.7. 7 × 1.7 = 11,9. اگر این مورد را با ماشین حساب بررسی کنیم ، می بینیم که تقریباً به جواب نزدیک شده ایم: 12,13.
     • این نیز برای اعداد بزرگتر کار می کند. به عنوان مثال ، sqrt (35) تقریباً بین 5 تا 6 است (احتمالاً به 6 نزدیکتر است). 5 = 25 و 6 = 36.35 بین 25 تا 36 است ، بنابراین ریشه مربع بین 5 تا 6 خواهد بود. از آنجا که 35 درست زیر 36 است ، می توان با اطمینان گفت که ریشه مربع آن است فقط کمتر از 6 است. بررسی با ماشین حساب جوابی در حدود 5.92 به ما می دهد - حق با ما بود.
5. متناوباً ، به عنوان اولین قدم ، می توانید عدد را به عدد ساده کنید کمترین مضرب مشترک. اگر به راحتی بتوانید فاکتورهای اصلی یک عدد را پیدا کنید (فاکتورهایی که در همان زمان نیز اعداد اول هستند) جستجوی عوامل قدرت ضروری نیست. عدد را از نظر ضرب حداقل مشترک بنویسید. سپس بین فاکتورهای خود جفت های منطبق اعداد اول را جستجو کنید. وقتی دو فاکتور اصلی را پیدا کردید که مطابقت دارند ، آنها را از ریشه مربع خارج کرده و در جای خود قرار دهید آ از این اعداد خارج از علامت ریشه مربع است.
   • به عنوان مثال ، با استفاده از این روش ریشه مربع 45 را تعیین می کنیم. می دانیم که 45 = 9 × 5 و 9 = 3 × 3. بنابراین می توانیم ریشه مربع را اینگونه بنویسیم: Sqrt (3 × 3 × 5). 3 را به سادگی حذف کنید و یک 3 را خارج از ریشه مربع قرار دهید تا یک ریشه مربع ساده دریافت کنید: (3) میدان (5). اکنون می توانید به راحتی تخمین بزنید.
   • مثال آخر؛ ما ریشه مربع 88 را تعیین می کنیم:
     • میدان (88)
     • = مربع (44 2 2)
     • = مربع (2 × 4 × 11)
     • = مربع (2 × 2 × 2 × 11). ما چندین ریشه مربع داریم. از آنجا که 2 برتر است ، می توانیم یک جفت را برداریم و 2 را خارج از ریشه قرار دهیم.
     • = ساده ترین ریشه مربع ما (2) Sqrt (2 × 11) یا است (2) میدان (2) میدان (11). حال می توانیم به بخش Sqrt (2) و Sqrt (11) نزدیک شویم و اگر می خواهیم پاسخ تقریبی پیدا کنیم.

روش 2 از 2: یافتن ریشه های مربع بدون ماشین حساب

با تقسیم طولانی

1. ارقام شماره خود را به جفت تقسیم کنید. این روش مشابه تقسیم طولانی است که به شما اجازه می دهد تقسیم کنید دقیق ریشه مربع یک رقم عددی به رقم. اگرچه ضروری نیست ، اما شکستن تعدادی قطعه قابل اجرا می تواند حل را آسان کند ، به خصوص اگر طولانی باشد. ابتدا یک خط عمودی تقسیم کنید که ناحیه کار را به 2 ناحیه تقسیم می کند ، سپس یک خط کوتاهتر نزدیک بالای ناحیه سمت راست تقسیم می کنیم ، آن را به یک قسمت بالایی کوچکتر و یک قسمت بزرگتر در زیر تقسیم می کنیم. سپس با شروع از نقطه اعشاری ، عدد را به جفت عدد تقسیم کنید. بر اساس این قانون ، 79520789182.47897 "7 95 20 78 91 82.47 89 70" می شود. این عدد را در قسمت بالا سمت چپ بنویسید.
   • به عنوان مثال ، بیایید ریشه مربع 780.14 را محاسبه کنیم. فضای کاری خود را مانند بالا تقسیم کنید و در گوشه بالا سمت چپ "7 80، 14" را بنویسید. اشکالی ندارد اگر به جای دو عدد ، در انتهای سمت چپ فقط یک عدد وجود داشته باشد. سپس پاسخ (ریشه مربع 14/780) را در بالای ناحیه سمت راست می نویسید.
2. بزرگترین عدد صحیح را پیدا کنید n مربع آن کمتر از یا برابر با بیشترین رقم یا تعداد چپ است. بزرگترین مربع را که کمتر از یا برابر این عدد است پیدا کنید و سپس ریشه مربع این مربع را پیدا کنید. این عدد است n. آن را در قسمت بالا و سمت راست بنویسید و مربع n را در ربع پایین آن قسمت بنویسید.
   • در مثال ما ، بیشترین رقم سمت چپ عدد 7 است. از آنجا که می دانیم 2 = 4 ≤ 7 3 = 9 ، می توانیم بگوییم n = 2 زیرا این بزرگترین عدد صحیحی است که مربع آن کمتر از 7 است. در ربع بالای سمت راست 2 را بنویسید. این اولین رقم پاسخ است. 4 (مربع 2) را در ربع پایین سمت راست بنویسید. این تعداد برای مرحله بعدی مهم است.
3. عددی را که محاسبه کرده اید کم کنید از رقم سمت چپ یا تعداد همانند تقسیم طولانی ، مرحله بعدی این است که مربع را از عددی که برای محاسبه استفاده کردیم کم کنیم. این عدد را در زیر چپ ترین عدد بنویسید و آنها را کم کنید. پاسخ را در زیر بنویسید.
   • در مثال ما 4 زیر 7 را می نویسیم و کم می کنیم. این می دهد 3 در پاسخ.
4. شماره بعدی را به پایین منتقل کنید. این را در کنار مقداری که در ویرایش قبلی یافته اید ، قرار دهید. عدد را در سمت راست بالا در دو ضرب کرده و در پایین سمت راست یادداشت کنید. برای مبلغی که در مرحله بعد انجام خواهید داد ، در کنار عددی که تازه نوشتید ، فاصله بگذارید. در اینجا بنویسید "_ × _ =" ".
   • در مثال ما ، شماره بعدی "80" است. "80" را در کنار 3 در ربع سمت چپ بنویسید. سپس عدد را در سمت راست بالا ضرب در 2 کنید. این عدد 2 است ، بنابراین 2 × 2 = 4 "" 4 "" را در پایین سمت راست بنویسید ، به دنبال آن _×_=.
5. اعداد را در سمت راست وارد کنید. در فضای خالی حاصل جمع (راست) ، بزرگترین عدد صحیحی را وارد کنید که نتیجه حاصل از ضرب در سمت راست ، عدد فعلی سمت چپ کمتر یا مساوی باشد.
   • در مثال ما ، 8 را وارد می کنیم ، و این 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384 می دهد. این بزرگتر از 380 است. بنابراین 8 خیلی بزرگ است ، اما 7 احتمالاً چنین نیست. 7 را پر کنید و حل کنید: 4 (7) × 7 = 329. 7 خوب است زیرا 329 کمتر از 380 است. 7 را در سمت راست بالا بنویسید. این رقم دوم در ریشه مربع 780.14 است.
6. عددی را که تازه محاسبه کرده اید از شماره فعلی سمت چپ کم کنید. بنابراین نتیجه ضرب در سمت راست را از جواب فعلی در سمت چپ کم می کنید. پاسخ خود را مستقیماً در زیر آن بنویسید.
   • در مثال ما 329 را از 380 کم می کنیم و این می دهد 51 در نتیجه.
7. مرحله 4 را تکرار کنید. جفت بعدی اعداد را از 780.14 پایین بیاورید. وقتی به کاما رسیدید ، آن کاما را در جواب سمت راست بنویسید. سپس عدد سمت راست بالا را در 2 ضرب کرده و جواب را در کنار ("_ × _") مانند بالا بنویسید.
   • در جواب ما اکنون یک ویرگول می نویسیم زیرا در 780.14 نیز با این مسئله روبرو می شویم. جفت بعدی (14) را به سمت ربع سمت چپ حرکت دهید. 27 x 2 = 54 ، بنابراین در ربع پایین سمت راست "54 _ × _ =" را می نویسیم.
8. مراحل 5 و 6 را تکرار کنید. بزرگترین عددی را که پاسخی کمتر یا مساوی با عدد فعلی سمت چپ دارد ، پیدا کنید. حل.
   • در مثال ما ، 549 × 9 = 4941 ، که کمتر یا برابر با عدد سمت چپ است (5114). 109 54 549 = 5490 که خیلی زیاد است ، بنابراین 9 پاسخ ما است. 9 را به عنوان عدد بالا و سمت راست بعدی بنویسید و نتیجه ضرب را از عدد سمت چپ کم کنید: 5114 -4941 = 173.
9. برای اینکه نتیجه دقیق حاصل شود ، روش قبلی را تکرار کنید تا زمانی که جواب را با تعداد رقم اعشاری (صدم ، هزارم) مورد نیاز پیدا کنید.

روش کار را بفهمید

1. عددی را که می خواهید ریشه مربع آن را محاسبه کنید به عنوان مساحت S یک مربع در نظر بگیرید. از آنجا که مساحت مربع L است ، جایی كه L طول یكی از اضلاع آن است ، بنابراین با یافتن ریشه مربع عدد خود ، سعی می كنید طول L ضلع آن مربع را محاسبه كنید.
2. به هر رقم پاسخ خود نامه دهید. متغیر A را به عنوان اولین رقم L وارد کنید (ریشه مربعی که سعی در محاسبه آن داریم). B رقم دوم ، C سوم و غیره است.
3. به هر "جفت عدد" از عددی که شروع می کنید یک حرف بدهید. متغیر S را بدهید_آ به اولین جفت رقم در S (مقدار اولیه) ، S_ب به جفت دوم رقم و غیره
4. رابطه این روش با تقسیم طولانی را درک کنید. این روش برای یافتن یک ریشه مربع اساساً یک تقسیم طولانی است ، جایی که شما مقدار اولیه را بر ریشه مربع آن تقسیم می کنید و ریشه مربع را به عنوان پاسخ "می دهید". همانند تقسیم طولانی ، جایی که شما فقط به رقم بعدی در یک زمان علاقه مند هستید ، شما فقط به دو رقم بعدی در یک بار علاقه مند هستید (که با رقم بعدی ریشه مربع مطابقت دارد).
5. بزرگترین عددی را پیدا کنید که مربع آن کمتر از S باشد یا برابر آن باشد._آ است. اولین رقم A در پاسخ ما بزرگترین عددی است که مربع آن بزرگتر از S نیست._آ (به گونه ای که A² ≤ Sa (A + 1)). در مثال ما ، S_آ = 7 ، و 2² 7 3² ، بنابراین A = 2.
   • توجه داشته باشید که اگر 88962 را بر 7 تقسیم کنید با استفاده از تقسیم طولانی ، مرحله اول برابر است: ابتدا با اولین رقم 88962 (8) معامله می کنید و بزرگترین رقم ضربدر 7 را می خواهید که کمتر از یا برابر 8 باشد. اساساً شما تعیین کردن د به گونه ای که 7 × d ≤ 8 7 × (d + 1). در این حالت d برابر 1 است.
6. مربعی را که می خواهید مساحت آن را پیدا کنید تجسم کنید. پاسخ شما ، ریشه مربع مقدار اولیه ، L است که طول یک مربع با مساحت S را توصیف می کند (مقدار اولیه). مقادیر A ، B و C نشانگر ارقام موجود در مقدار L است. روش دیگر گفتن این است که برای یک جواب 2 رقمی ، 10A + B = L و برای یک پاسخ 3 رقمی ، 100A + 10B + C = L ، و غیره.
   • در مثال ما (10A + B) ² = L = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². به یاد داشته باشید که 10A + B پاسخ L ما به همراه B را در موقعیت واحدها ، و A را در موقعیت ده ها نشان می دهد. به عنوان مثال ، اگر A = 1 و B = 2 ، 10A + B عدد 12 است. (10A + B) مساحت کل مربع است ، در حالی که 100A² مساحت بزرگترین میدان داخلی است ، B² مساحت کوچکترین مربع است و 10A × B مساحت هر یک از مستطیل های باقی مانده است. از طریق این روش پیچیده و طولانی ، می توانیم مساحت کل مربع را با افزودن قسمت های مربع و مستطیل که بخشی از آن هستند ، پیدا کنیم.
7. A² را از S. کم کنید_آ. یک جفت عدد بیاورید (S._ب) پایین تر از شماره S. S._آ اس_ب تقریباً کل مساحت مربع است ، که فقط بزرگترین مربع داخلی را از آن کم کردید. باقی مانده ، مثلاً ، عدد N1 است که در مرحله 4 بدست آوردیم (در مثال ما 380 = N1). N1 برابر است با 2 × 10A × B + B² (مساحت 2 مستطیل به اضافه مساحت مربع کوچک).
8. به N1 = 2 × 10A × B + B² نگاه کنید ، همچنین به عنوان N1 = (2 × 10A + B) × B نوشته شده است. در مثال ما ، شما از قبل N1 (380) و A (2) را می شناسید ، بنابراین اکنون باید B را پیدا کنید. B احتمالاً یک عدد صحیح نیست ، بنابراین شما مجبور هستید در حقیقت بزرگترین عدد صحیح B را پیدا کنید ، به طوری که (2 × 10A + B) × B ≤ N1. بنابراین اکنون شما: N1 (2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)
9. معادله را حل کنید. برای حل این معادله ، A را در 2 ضرب کنید ، آن را به ده تغییر دهید (ضرب در 10) ، B را در واحدها قرار دهید ، و حاصل را ضرب کنید در B. به عبارت دیگر ، (2 × 10A + B) × B. این است دقیقاً همان کاری که هنگام نوشتن "N_ × _ =" (با N = 2 × A) در ربع پایین سمت راست در مرحله 4 انجام می دهید ، انجام می دهید. در مرحله 5 بزرگترین عدد صحیح B را که در زیر خط قرار می گیرد تعیین می کنید ، بنابراین (2 × 10A + ب) × ب ≤ N1.
10. سطح (2 × 10A + B) × B را از کل منطقه کم کنید. این به منطقه S- (10A + B) ... می دهد که شما هنوز آنها را در نظر نگرفته اید (و از آن برای محاسبه اعداد زیر به همان روش استفاده می کنید).
11. برای محاسبه رقم بعدی C ، روش را تکرار کنید. جفت بعدی اعداد را از S به پایین منتقل کنید (S_ج) برای دریافت N2 به سمت چپ و بزرگترین C را جستجو کنید تا اکنون داشته باشید: (2 × 10 × (10A + B) + C) × C ≤ N2 (برابر با دو برابر عدد دو رقمی "AB" است توسط "_ × _ =" اکنون بیشترین عددی را که می توانید در اینجا وارد کنید تعیین کنید ، که به شما پاسخی کمتر یا مساوی با N2 می دهد.

نکات

• حرکت ویرگول توسط دو مکان (ضریب 100) کاما را در ریشه مربع مربوطه یک مکان حرکت می دهد (ضریب 10).
• در مثال ، 1.73 را می توان "باقیمانده" در نظر گرفت: 780.14 = 27.9² + 1.73.
• این روش برای هر سیستم عددی ، نه فقط سیستم اعشاری (اعشاری) کار می کند.
• در صورت تمایل محاسبات را در جایی که می خواهید قرار دهید. برخی افراد آن را بالای عددی که می خواهند ریشه مربع آن را محاسبه کنند ، می نویسند.
• یک روش جایگزین به شرح زیر است: √z = √ (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + y))). به عنوان مثال ، برای محاسبه ریشه مربع 780.14 ، عددی را که مربع آن نزدیک به 780.14 است (28) ، بنابراین = 780.14 ، x = 28 و y = -3.86 را بگیرید. پر کردن و تخمین زدن به ما x + y / (2x) می دهد و این (اصطلاحات ساده شده) 78207/2800 یا حدود 27.931 (1) را می دهد. اصطلاح زیر ، 4374188/156607 یا حدود 27.930986 (5). هر اصطلاح حدود 3 رقم اعشاری از دقت را به عبارت قبلی اضافه می کند.

هشدارها

• اطمینان حاصل کنید که عدد را از نقطه اعشاری به جفت تقسیم کنید. تقسیم 79520789182.47897 به عنوان "79 52 07 89 18 2,4 78 97 "نتیجه نادرستی می دهد.