محتوا

• گام برداشتن
• روش 1 از 1: قسمت دوم: با استفاده از جمع 1 تا N برای یافتن مجموع دو عدد صحیح
• نکات
• هشدارها

اعداد صحیح ، اعداد صحیح بدون کسر و اعشار هستند. اگر یک مسئله ریاضی نیاز به محاسبه مجموع تعدادی از عدد صحیح از 1 تا یک مقدار معین N دارد ، لازم نیست که هر مقدار را با دست اضافه کنید. در عوض ، برای صرفه جویی در وقت و تلاش ، از این معادله استفاده کنید (N (N + 1)) / 2، جایی که N بالاترین عدد در این مجموعه است.

گام برداشتن

1. بزرگترین عدد صحیح را به صورت N تعریف کنید. هنگام اضافه کردن عدد صحیح از 1 به یک عدد داده شده ن، شما باید N خود را به عنوان یک عدد صحیح مثبت تعریف کنید. N یک عدد صحیح است ، بنابراین نمی تواند یک عدد یا کسری اعشاری باشد. N نیز نباید منفی باشد.
   • به عنوان مثال ، فرض کنید می خواهیم تمام عدد صحیح از 1 تا 100 را اضافه کنیم. در این حالت ، 100 مقدار N است ، زیرا این آخرین عدد از مجموعه ما است ، یا به عبارت دیگر ، بیشترین عدد در جمع است.
2. N (N + 1) را ضرب کرده و بر 2 تقسیم کنید. وقتی مقدار N را تعریف کردید ، این مقدار را در معادله (N (N + 1)) / 2 اعمال کنید. این معادله مجموع تمام اعداد صحیح بین 1 و N را پیدا می کند.
   • در مثال ما ، 100 ، مقدار N را در معادله وارد می کنیم. (N (N + 1)) / 2 سپس (100 (100 + 1)) / 2 می شود.
3. پاسخ را محاسبه کنید. مقدار نهایی این معادله مجموع تمام اعداد بین 1 و N است.
   • بیایید این مثال را حل کنیم.
     • (100(100 + 1))/2 =
     • (100(101))/2 =
     • (10100)/2 =
     • 5050. آیا مجموع تمام اعداد صحیح از 1 تا 100 است 5050.
4. بدانید که معادله (N (N + 1)) / 2 چگونه حاصل شده است. نگاهی دیگر به مسئله نمونه بیندازید. این توالی 1 + 2 + 3 + 4 ... + 99 + 100 را به دو گروه تقسیم کنید - از 1 تا 50 و دیگری از 51 به 100. اگر عدد اول را در گروه اول (1) به آخرین عدد اضافه کنید گروه دوم (100) ، شما 101 را دریافت می کنید. شما با 2 + 99 ، 3 + 98 ، 4 + 97 و غیره همین جواب را می گیرید (101). اگر هر عدد از گروه اول را به عدد مربوطه در گروه دوم اضافه کنیم ، در پایان با 50 جفت عدد با همان جمع خواهیم رسید: 101. بنابراین ، 50 101 101 = 5050 ، مجموع عددهای صحیح از 1 تا 100 توجه داشته باشید که 50 نیمی از 100 است ، و 101 100 + 1 است. در واقع ، این مشاهدات برای مجموع هر عدد صحیح مثبت صدق می کند - جمع اجزا را می توان به دو گروه تقسیم کرد و اعداد در این گروه ها را می توان به گونه ای به یکدیگر اختصاص داده شده اند که هر جفت مبلغ یکسانی داشته باشد. توجه داشته باشید که برای یک دنباله عجیب و غریب از اعداد صحیح ، یک عدد باقی مانده است - این بر جواب نهایی تأثیر نمی گذارد.
   • به طور کلی می توان گفت که برای هر عدد N ، مجموع اعداد از 1 تا N برابر با (N / 2) است (N + 1). شکل ساده شده این معادله (N (N + 1)) / 2 است که مجموع معادله اعداد صحیح است.

روش 1 از 1: قسمت دوم: با استفاده از جمع 1 تا N برای یافتن مجموع دو عدد صحیح

1. درمورد افزودن فراگیر یا انحصاری تصمیم بگیرید. اغلب اوقات هدف این نیست که طیف وسیعی از اعداد صحیح را از 1 تا یک عدد مشخص جمع کنید ، اما از شما خواسته می شود که مجموع طیف اعداد صحیح را پیدا کنید بین دو عدد صحیح N.₁ و ن₂، جایی که N₁ > N₂ و هر دو> 1 هستند. فرآیند یافتن این مبلغ نسبتاً ساده است ، اما قبل از شروع ، باید تصمیم بگیریم که آیا این مبلغ شامل کار است یا منحصر به فرد - به عبارت دیگر ، آیا N₁ و ن₂ شامل یا فقط اعداد صحیح در این بین ، زیرا روش در این موارد کمی متفاوت از یکدیگر است.
2. برای تعیین مجموع اعداد صحیح بین دو عدد N₁ و ن₂ ما ابتدا مجموع هر مقدار N را جداگانه تعیین می کنیم و آن را کم می کنیم. به طور کلی ، شما فقط باید مقدار مقدار N کوچکتر را از مجموع مقدار N بزرگتر کم کنید تا جواب پیدا کنید. با این حال، همانطور که در بالا نشان داده شد ، مهم است که بدانید این اضافات شامل است یا منحصر به فرد. ازجمله جمع ، لازم است 1 را از مقدار N کم کنید.₂ قبل از وارد کردن آن به معادله ، در حالی که شمارش انحصاری ایجاب می کند 1 را برای مقدار N کم کنید.₁.
   • بیایید بگوییم شامل مجموع اعداد صحیح بین N.₁ = 100 و N₂ = 75. به عبارت دیگر ، ما باید مجموع سری 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100 را پیدا کنیم. برای این کار ، مجموع اعداد صحیح را از 1 به N می گیریم₁، و آن جمع را از عدد صحیح از 1 به N کم کنید.₂ - 1 (به یاد داشته باشید که ما فراگیر را اضافه می کنیم ، بنابراین 1 را از N کم کنید.₂) ، و آن را مانند این کار کنید:
     • (N₁(N₁ + 1)) / 2 - ((N₂-1) ((N₂-1) + 1))/2 =
     • (100(100 + 1))/2 - (74(74 + 1))/2 =
     • 5050 - (74(75))/2 =
     • 5050 - 5550/2 =
     • 5050 - 2775 = 2275. مجموع اعداد صحیح بین 75 تا 100 است 2275.
   • حالا وقته انحصاری شروع به شمردن کنید. این معادله ثابت مانده است ، با این تفاوت که در این حالت 1 را از N کم می کنیم₁ به جای N.₂:
     • ((N₁-1) ((N₁-1) + 1)) / 2 - (N₂(N₂ + 1))/2 =
     • (99(99 +1))/2 - (75(75 + 1))/2 =
     • (99(100))/2 - (75(76))/2 =
     • 9900/2 – 5700/2 =
     • 4950 - 2850 = 2100. مجموع منحصر به فرد عدد صحیح بین 75 و 100 است 2100.
3. دلیل عملکرد این فرآیند را بفهمید. مجموع اعداد صحیح از 1 تا 100 را 1 + 2 + 3 ... + 98 + 99 + 100 و مجموع عددهای صحیح از 1 تا 75 را 1 + 2 + 3 ... + 73 + 74 + 75 در نظر بگیرید مجموع اعداد صحیح از 75 به 100 به معنای 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100 است. مجموع 1-75 و 1-100 تا 75-در آن نقطه جمع 1 است. -75 "متوقف می شود" و مجموع 1 تا 100 ادامه می یابد ، با ... 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100. بنابراین ، جمع اعداد صحیح را از 1-75 از مجموع اعداد صحیح را از 1-100 ما توانایی تفکیک مجموع اعداد صحیح از 75-100 را داریم.
   • با این حال ، اگر فراگیر اضافه کنیم ، باید اطمینان حاصل کنیم که 75 در جمع نهایی قرار دارد ، به جای جمع 1-75 از جمع 1-74 استفاده کنیم.
   • به همین ترتیب ، هنگام جمع کردن منحصر به فرد ، ما از اطمینان حاصل می کنیم که 100 در مجموع قرار ندارد ، به جای جمع 1-100 ، از جمع 1-99 استفاده می کنیم. ما می توانیم از مجموع 1-75 استفاده کنیم زیرا با کسر این جمع از مجموع 1-99 عدد 75 از جمع نهایی ما مستثنی است.

نکات

• نتیجه همیشه یک عدد صحیح است ، زیرا n یا n + 1 برابر است و بنابراین می توان آن را بر 2 تقسیم کرد.
• به طور خلاصه: SUM (1 تا n) = n (n + 1) / 2
• SUM (a تا b) = SUM (1 تا b) - SUM (1 تا a-1).
  
  

هشدارها

• گرچه تعمیم به اعداد منفی کار چندان دشواری نیست ، اما این توضیحات به تمام عددهای صحیح مثبت N محدود می شود ، جایی که N حداقل 1 است.