محتوا

• گام برداشتن
• قسمت 1 از 3: مبانی تجزیه و تحلیل
• قسمت 2 از 3: مشتقات را بفهمید
• قسمت 3 از 3: انتگرال ها را بفهمید
• نکات

تجزیه و تحلیل (حساب نیز نامیده می شود) شاخه ای از ریاضیات است که بر روی محدودیت ها ، توابع ، مشتقات ، انتگرال ها و سری بی نهایت متمرکز است. این موضوع بسیاری از ریاضیات را در بر می گیرد و زیربنای بسیاری از فرمول ها و معادلات مورد استفاده در فیزیک و مکانیک است. برای درک درست تجزیه و تحلیل ، احتمالاً شما باید چندین سال ریاضی در دبیرستان داشته باشید ، اما این مقاله شما را در یادگیری شناختن مفاهیم اصلی و همچنین درک بهتر از تئوری شروع می کند.

گام برداشتن

قسمت 1 از 3: مبانی تجزیه و تحلیل

1. تحلیل ، مطالعه چگونگی تغییر اوضاع است. تجزیه و تحلیل شاخه ای از ریاضیات است که اعداد و نمودارها را که معمولاً از داده های دنیای واقعی گرفته شده است ، بررسی می کند و نحوه تغییر آنها را توضیح می دهد. گرچه ممکن است این کار در ابتدا بسیار مفید به نظر نرسد ، اما تحلیل یکی از شاخه های ریاضی است که بیشتر مورد استفاده قرار می گیرد. تصور کنید که ابزاری دارید که به شما می گوید سرعت تجارت شما در هر زمان با چه سرعتی رشد می کند یا نحوه ترسیم مسیر حرکت یک سفینه فضایی و سرعت سوخت آن چقدر است. تجزیه و تحلیل ابزاری مهم در مهندسی ، اقتصاد ، آمار ، شیمی و فیزیک است و به بسیاری از اختراعات و کشفیات کمک کرده است.
2. توابع روابط بین دو عدد هستند و برای نقشه برداری روابط استفاده می شوند. آنها قوانینی برای ارتباط بین اعداد هستند و ریاضیدانان از آنها برای ساختن نمودار استفاده می کنند. در یک تابع ، هر ورودی دقیقاً یک نتیجه دارد. به عنوان مثال: در ${ displaystyle y = 2x + 4،}$به مفهوم بی نهایت فکر کنید. بی نهایت تکرار مداوم یک فرایند است. این مکان خاصی نیست (شما نمی توانید به بی نهایت بروید) ، بلکه رفتار یک عدد یا معادله است ، اگر برای همیشه انجام شود. این برای مطالعه تغییر مهم است: شما ممکن است بخواهید بدانید که ماشین شما در هر لحظه با چه سرعتی حرکت می کند ، اما آیا سرعت حرکت شما در ثانیه فعلی چقدر است؟ میلی ثانیه؟ نانو ثانیه؟ می توانید تعداد بی نهایت کوچکی از زمان را دقیق تر پیدا کنید ، و این زمانی است که تجزیه و تحلیل شروع می شود.
3. مفهوم محدودیت ها را درک کنید. یک حد به شما می گوید که وقتی چیزی به بی نهایت نزدیک می شود چه اتفاقی می افتد. عدد 1 را بگیرید و آنرا بر 2 تقسیم کنید. تقسیم را بر 2 بارها و بارها ادامه دهید. 1 به 1/2 و سپس به 1/4 ، 1/8 ، 16/1 ، 32/1 و غیره تبدیل می شود. هر بار که عدد کوچک و کوچکتر می شود ، "نزدیکتر" به صفر است. اما کجا متوقف می شود؟ چند بار باید 1 به 2 تقسیم کنید تا صفر شود؟ به جای پاسخ دادن به این سال ، در تحلیل شما یکی را تعیین می کنید حد در این حالت ، حد است.
   • محدودیت ها آسانترین تجسم در نمودار است - به عنوان مثال ، آیا نقاطی وجود دارد که نمودار تقریباً آنها را لمس می کند ، اما هرگز کاملاً مناسب نیست؟
   • محدودیت ها می توانند تعداد ، بی نهایت یا حتی وجود نداشته باشند. به عنوان مثال ، با دنباله جمع 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... و این به طور نامحدود ادامه می یابد ، تعداد نهایی بی نهایت بزرگ می شود. سپس حد نامحدود می شود.
4. مفاهیم اساسی ریاضیات جبر ، مثلثات و مبانی ریاضی را مرور کنید. تحلیل به بیشتر ریاضیاتی که قبلاً یاد گرفته اید متکی است. آگاهی کامل از همه مباحث یادگیری و درک تحلیل را بسیار آسان می کند. برخی از موضوعات برای تمیز کردن عبارتند از:
   • جبر شما باید فرایندهای مختلف را درک کنید و بتوانید معادلات و سیستم معادلات را با چندین متغیر حل کنید. اصول مجموعه ها را بفهمید. ساخت نمودار را تمرین کنید.
   • هندسه. هندسه مطالعه اشکال است. شما باید دانش اولیه در مورد مثلث ، مستطیل و دایره و نحوه محاسبه مواردی مانند محیط و مساحت داشته باشید. زاویه ها ، خطوط و مختصات را بفهمید
   • مثلثات. مثلثات شاخه ای از ریاضیات است که به خصوصیات دایره ها و مثلث های راست می پردازد. بدانید که چگونه از هویت های مثلثاتی ، نمودارها ، توابع و توابع مثلثاتی معکوس استفاده کنید.
5. یک ماشین حساب نمودار را خریداری کنید. درک آنالیز بدون مشاهده کارهایی که انجام می دهید آسان نیست. ماشین حساب های نمودار سازی توابع را بصری می کنند تا بتوانید بهتر بفهمید با چه معادلاتی روبرو هستید. غالباً محدودیت ها نیز بر روی صفحه نمایش داده می شوند و مشتقات و توابع به طور خودکار محاسبه می شوند.
   • اگر نمی خواهید یا نمی توانید ماشین حساب نمودار بخرید ، بسیاری از تلفن های هوشمند و تبلت ها امروز برنامه های ارزان قیمت اما کارآمد را ارائه می دهند.

قسمت 2 از 3: مشتقات را بفهمید

1. تجزیه و تحلیل برای مطالعه "تغییر در یک لحظه خاص" استفاده می شود. دانستن اینکه چرا چیزی در یک لحظه دقیق تغییر می کند ، هسته اصلی تحلیل است. به عنوان مثال ، تجزیه و تحلیل نه تنها سرعت یک ماشین ، بلکه میزان تغییر آن سرعت را در هر زمان مشخص به شما می دهد. این یکی از ساده ترین کاربردهای تحلیل است ، اما بسیار مهم است. تصور کنید که چنین اطلاعاتی در تعیین سرعت لازم برای رسیدن سفینه فضایی به ماه چقدر مهم است!
   • تعیین تغییر در یک مقطع خاص از زمان داشته است متمایز کردن. تمایز اولین از دو شاخه اصلی تجزیه و تحلیل است.
2. برای درک چگونگی تغییر اوضاع در یک زمان خاص از مشتقات استفاده کنید "مشتق" کلمه خوبی برای چیزی است که اغلب دانش آموزان را عصبی می کند. با این حال ، درک خود مفهوم چندان دشوار نیست - این فقط به معنای "سرعت تغییر سریع چیزی است". مشتقاتي كه در زندگي روزمره بيشتر با آنها روبرو خواهيد شد ، مربوط به سرعت هستند. با این حال ، شما معمولاً آن را "مشتق سرعت" نمی خوانید ، بلکه فقط "شتاب" می نامید.
   • شتاب یک مشتق است - به شما می گوید چیزی با چه سرعتی شتاب می گیرد یا کند می شود ، یا سرعت آن چطور تغییر می کند.
3. بدانید که سرعت تغییر برابر است با شیب بین دو نقطه. این یکی از مهمترین کشفیات تحلیل است. سرعت تغییر بین دو نقطه برابر است با شیب خط بین آن دو نقطه. فقط به یک خط ساده مانند معادله فکر کنید ${ displaystyle y = 3x.}$بدانید که می توانید شیب خطوط منحنی را تعیین کنید. تعیین شیب یک خط مستقیم نسبتاً آسان است: چقدر تغییر می کند ${ displaystyle y}$اگر می خواهید تغییر را با دقت بیشتری محاسبه کنید ، مطمئن شوید که نقاط به هم نزدیکتر هستند. هرچه دو نکته را نزدیکتر انتخاب کنید ، پاسخ شما دقیق تر خواهد بود. فرض کنید می خواهید بدانید که با فشار دادن گاز پدال گاز شما چه میزان شتاب می گیرد. شما نمی خواهید تغییر سرعت بین خانه و سوپرمارکت را اندازه بگیرید ، اما تغییر سرعت از لحظه ضربه زدن به شتاب دهنده است. هرچه میزان مطالعه شما به آن قسمت ثانیه نزدیکتر شود ، محاسبه دقیقتری از تغییر خواهید داشت.
   • به عنوان مثال ، دانشمندان در حال بررسی سرعت انقراض برخی از گونه ها برای نجات آنها هستند. با این حال ، حیوانات بیشتر از زمستان در زمستان می میرند ، بنابراین مطالعه میزان تغییرات در طول سال مفید نیست - بهتر است که میزان تغییرات را در یک دوره کوچکتر مانند 1 ژوئیه تا 1 اوت تعیین کنید.
4. برای تعیین "سرعت تغییر لحظه ای" یا یافتن مشتق از خطوط بینهایت کوتاه استفاده کنید. این جایی است که تجزیه و تحلیل اغلب کمی گیج کننده می شود ، اما این در واقع نتیجه دو واقعیت ساده است. اول از همه ، شما می دانید که شیب یک خط با سرعت تغییر آن خط برابر است. دوم ، شما می دانید که هرچه نقاط خط به یکدیگر نزدیکتر باشند ، قرائت دقیق تری خواهد داشت. اما اگر شیب رابطه بین دو نقطه باشد چگونه می توان نرخ تغییر را در یک نقطه معین پیدا کرد؟ جواب: شما دو نقطه را انتخاب می کنید که بینهایت به هم نزدیک باشند.
   • مثالی را در نظر بگیرید که مرتب 1 بر 2 را تقسیم می کنید ، بنابراین 1/2 ، 1/4 ، 1/8 و غیره بدست می آورید. بنابراین در پایان به صفر نزدیک می شوید و پاسخ "تقریباً صفر" است. نقاط به قدری به یکدیگر نزدیک هستند که "تقریباً برابر با یکدیگر" هستند. این خاصیت مشتقات است.
5. بیاموزید که چگونه مشتقات مختلف را تعیین کنید. بسته به معادله ، یک تن از تکنیک های مختلف برای یافتن یک مشتق وجود دارد ، اما اگر اصول اولیه مشتقات را در بالا بخاطر بسپارید ، بیشتر آنها منطقی است. همه مشتقات راهی برای یافتن شیب خط "بی نهایت کوچک" هستند. اکنون که درباره تئوری مشتق بیشتر می دانید ، بیشتر کار یافتن پاسخ است.
6. معادلات مشتق شده را برای پیش بینی میزان تغییر در هر زمان پیدا کنید. استفاده از مشتقات برای تعیین میزان تغییر در هر زمان مفید است ، اما زیبایی تجزیه و تحلیل این است که شما می توانید برای هر عملکردی یک مدل جدید ایجاد کنید. مشتق شده از ${ displaystyle y = x ^ {2} ،}$اگر درک این مسئله دشوار است ، سعی کنید نمونه های واقعی مشتقات را به یاد بیاورید. ساده ترین مثال مبتنی بر سرعت است که مشتقات مختلفی را که هر روز با آنها روبرو می شویم در بر می گیرد. فراموش نکن: مشتق اندازه گیری میزان تغییر سریع چیزی است. به یک آزمایش ساده فکر کنید. شما یک سنگ مرمر را روی میز می غلتانید و هر بار میزان حرکت و سرعت آن را اندازه می گیرید. حال تصور کنید که سنگ مرمر نورد از یک خط روی یک نمودار پیروی می کند - شما از مشتقات برای اندازه گیری تغییرات آنی در هر زمان از آن خط استفاده می کنید.
   • سنگ مرمر با چه سرعتی حرکت می کند؟ موقعیت (یا مشتق) سنگ مرمر متحرک با چه سرعتی تغییر می کند؟ ما این مشتق را "سرعت" می نامیم.
   • سنگ مرمر را در امتداد یک شیب بچرخانید و نحوه تغییر سرعت را مشاهده کنید. سرعت تغییر سنگ مرمر یا مشتق آن چقدر است؟ این مشتق همان چیزی است که ما آن را "شتاب" می نامیم.
   • سنگ مرمر را در امتداد یک مسیر موج دار مانند غلتک غلتکی بچرخانید. سنگ مرمر در هنگام غلت خوردن تا چه اندازه سرعت می یابد و سنگ مرمر در سربالایی سرعت خود را تا چه اندازه کاهش می دهد؟ سنگ مرمر دقیقاً وقتی که در نیمه راه اولین تپه قرار دارد با چه سرعتی حرکت می کند؟ این نرخ تغییر لحظه ای یا مشتق آن سنگ مرمر در آن یک نقطه خاص است.

قسمت 3 از 3: انتگرال ها را بفهمید

1. بدانید که می توانید از تجزیه و تحلیل برای یافتن مناطق و حجم های پیچیده استفاده کنید. با تجزیه و تحلیل می توانید اشکال پیچیده ای را اندازه گیری کنید که اندازه گیری آنها در غیر این صورت دشوار است. به عنوان مثال ، این مسئله را در نظر بگیرید كه می خواهید بدانید یك دریاچه طولانی و با فرم نامنظم چه مقدار آب دارد - اندازه گیری هر لیتر آب به طور جداگانه یا استفاده از خط كش برای اندازه گیری فرم دریاچه غیرممكن است. با تجزیه و تحلیل می توانید نحوه تغییر لبه های دریاچه را مطالعه کرده و سپس با استفاده از این اطلاعات میزان آب آن را دریابید.
   • ساخت مدل های هندسی و بررسی حجم ها ادغام کردن. حساب مجتمع دومین شاخه مهم تحلیل است.
2. بدانید که ادغام منطقه زیر نمودار است. از یکپارچه سازی برای اندازه گیری فضای زیر خط استفاده می شود ، که به شما امکان می دهد مساحت اشکال عجیب یا نامنظم را تعیین کنید. معادله را در نظر بگیرید ${ displaystyle y = 4-x ^ {2} ،}$بدانید که برای ادغام باید منطقه ای را انتخاب کنید. شما به سادگی نمی توانید یک عملکرد کامل را ادغام کنید. برای مثال، ${ displaystyle y = x}$به نحوه محاسبه مساحت مستطیل فکر کنید. فرض کنید بالای یک نمودار یک خط صاف دارید ، مانند ${ displaystyle y = 4.}$بدانید که در محاسبات انتگرال مستطیل های کوچک زیادی به هم اضافه می شوند تا مساحت یک منطقه را پیدا کنند. وقتی منحنی را خیلی بزرگ می کنید ، به نظر می رسد یک خط مستقیم است. این را هر روز می بینید - شما نمی توانید انحنای زمین را درک کنید زیرا بسیار نزدیک به سطح زمین هستید. یکپارچه سازی تعداد بی نهایت مستطیل کوچکی را در زیر منحنی ایجاد می کند که آنقدر کوچک است که اساساً مسطح است و به شما امکان می دهد آنها را بشمارید. تمام این مستطیل های جمع شده با هم سطح منطقه زیر یک منحنی را تشکیل می دهند.
   • فرض کنید بسیاری از بخشهای کوچک را در زیر نمودار جمع می کنید و این عرض هر بخش است تقریبا صفر است
3. بدانید که چگونه انتگرال ها را به درستی بخوانید و یادداشت کنید. انتگرال ها از 4 قسمت تشکیل شده اند. یک انتگرال معمولی مانند این است:
   
   ${ displaystyle int f (x) mathrm {d} x}$ درباره یافتن انتگرال بیشتر بدانید. یکپارچه سازی اشکال مختلفی دارد و شما باید فرمولهای مختلفی را برای ادغام هر عملکرد فرا بگیرید. با این حال ، همه آنها از اصول شرح داده شده در بالا پیروی می کنند: ادغام مجموع تعداد بی نهایت چیز است.
   • با جایگزینی ادغام شوید.
   • انتگرال های نامعین را محاسبه کنید.
   • با اشتراک گذاری ادغام شوید.
4. بدانید که ادغام عکس وجه تمایز است و بالعکس. این یک قاعده تجزیه و تحلیل است که آنقدر مهم است که نام خاص خود را به آن داده اند: قضیه اصلی محاسبه انتگرال.از آنجا که ادغام و تمایز بسیار به هم مرتبط هستند ، می توان از ترکیب این دو برای تعیین میزان تغییر ، شتاب ، سرعت ، مکان ، حرکت و غیره استفاده کرد ، بدون در نظر گرفتن اینکه چه اطلاعاتی دارید.
   • به عنوان مثال ، به یاد داشته باشید که مشتق سرعت شتاب است ، بنابراین می توانید برای یافتن شتاب از سرعت استفاده کنید. اما اگر فقط شتاب چیزی را می دانید (مانند افتادن اجسام بر اثر نیروی جاذبه) ، پس می توانید برای بازیابی سرعت ، یکپارچه شوید!
5. بدانید که با یکپارچه سازی می توانید حجم اشیا 3D سه بعدی را نیز کنترل کنید. چرخش یک شکل تخت یکی از راه های ایجاد جامدات سه بعدی است. تصور کنید یک سکه روی میز می چرخد ​​- توجه کنید که چگونه سکه هنگام چرخش به شکل کره در می آید. این مفهوم به شما اجازه می دهد تا حجم را با توجه به فرایندی که با عنوان "ولوم توسط چرخش" شناخته می شود ، تعیین کنید.
   • با این کار می توانید حجم هر ماده جامد را تعیین کنید ، به شرطی که تابعی داشته باشید که آن را نشان دهد. به عنوان مثال ، می توانید تابعی ایجاد کنید که کف دریاچه را ردیابی کند و سپس از آن برای تعیین حجم دریاچه یا مقدار آب موجود در آن استفاده کنید.

نکات

• تمرین کامل می شود ، بنابراین تمرین های تمرینی را در کتاب درسی خود انجام دهید - حتی آنهایی که معلم شما نداده است - و پاسخ های خود را بررسی کنید تا به شما در درک بهتر مفاهیم کمک کند.
• اگر راه حلی پیدا نکردید ، از معلم خود بپرسید.