محتوا

• مراحل
• روش 1 از 3: چگونه می توان طرف ناشناخته را پیدا کرد
• روش 2 از 3: پیدا کردن زاویه ناشناخته
• روش 3 از 3: نمونه مسائل
• نکات

قضیه کسینوس به طور گسترده ای در مثلثات مورد استفاده قرار می گیرد. هنگام کار با مثلث های نامنظم برای یافتن مقادیر ناشناخته مانند اضلاع و زاویه ها استفاده می شود. قضیه مشابه قضیه فیثاغورث است و به خاطر سپردن آن بسیار آسان است. قضیه کسینوس می گوید که در هر مثلثی ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.

مراحل

روش 1 از 3: چگونه می توان طرف ناشناخته را پیدا کرد

1. 1 مقادیر شناخته شده را بنویسید. برای یافتن ضلع ناشناخته مثلث ، باید دو ضلع دیگر و زاویه بین آنها را بدانید.
   • به عنوان مثال ، با یک مثلث XYZ. ضلع YX 5 سانتی متر ، طرف YZ 9 سانتی متر و زاویه Y 89 درجه است. سمت XZ چیست؟
2. 2 فرمول قضیه کسینوس را بنویسید. فرمول: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$، جایی که ${ displaystyle c}$ - مهمانی ناشناخته ، ${ displaystyle cos {C}}$ - کسینوس زاویه مقابل سمت ناشناخته ، ${ displaystyle a}$ و ${ displaystyle b}$ - دو طرف معروف
3. 3 مقادیر شناخته شده را به فرمول وصل کنید. متغیرها ${ displaystyle a}$ و ${ displaystyle b}$ نشان دادن دو طرف شناخته شده متغیر ${ displaystyle C}$ زاویه شناخته شده ای است که بین دو طرف قرار دارد ${ displaystyle a}$ و ${ displaystyle b}$.
   • در مثال ما ، طرف XZ ناشناخته است ، بنابراین در فرمول آن را به عنوان نشان می دهیم ${ displaystyle c}$... از آنجا که طرف YX و YZ شناخته شده است ، آنها را با متغیرها نشان می دهند ${ displaystyle a}$ و ${ displaystyle b}$... متغیر ${ displaystyle C}$ زاویه Y است. بنابراین ، فرمول به شرح زیر نوشته می شود: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) cos {89}}$.
4. 4 کسینوس زاویه شناخته شده را پیدا کنید. این کار را با ماشین حساب انجام دهید. مقدار زاویه را وارد کرده و سپس کلیک کنید ${ displaystyle COS}$... اگر ماشین حساب علمی ندارید ، به عنوان مثال ، یک جدول کسینوس آنلاین پیدا کنید. همچنین در Yandex ، می توانید "کسینوس X درجه" (جایگزین مقدار زاویه X) را وارد کنید ، و موتور جستجو کسینوس زاویه را نشان می دهد.
   • به عنوان مثال ، کسینوس 89 ° ≈ 0.01745 است. بنابراین: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$.
5. 5 اعداد را ضرب کنید. تکثیر کردن ${ displaystyle 2ab}$ توسط کسینوس زاویه شناخته شده
   • مثلا:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
6. 6 مربع اضلاع شناخته شده را تا کنید. به یاد داشته باشید ، برای مربع کردن یک عدد ، باید آن را در خود ضرب کرد. ابتدا اعداد مربوطه را مربع کنید و سپس مقادیر به دست آمده را اضافه کنید.
   • مثلا:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 25 + 81-1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
7. 7 دو عدد را کم کنید. پیدا خواهید کرد ${ displaystyle c ^ {2}}$.
   • مثلا:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
8. 8 ریشه مربعی این مقدار را بگیرید. برای انجام این کار ، از ماشین حساب استفاده کنید. این گونه است که شما نامعلوم را پیدا می کنید.
   • مثلا:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {104.4293}}}$
     ${ displaystyle c = 10.2191}$
     بنابراین ، طرف ناشناخته 10.2191 سانتی متر است.

روش 2 از 3: پیدا کردن زاویه ناشناخته

1. 1 مقادیر شناخته شده را بنویسید. برای یافتن زاویه ناشناخته مثلث ، باید هر سه ضلع مثلث را بشناسید.
   • به عنوان مثال ، با یک مثلث RST. طرف CP = 8 سانتی متر ، ST = 10 سانتی متر ، PT = 12 سانتی متر. مقدار زاویه S را پیدا کنید.
2. 2 فرمول قضیه کسینوس را بنویسید. فرمول: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$، جایی که ${ displaystyle cos {C}}$ - کسینوس با زاویه ناشناخته ، ${ displaystyle c}$ - یک طرف شناخته شده در مقابل گوشه ای ناشناخته ، ${ displaystyle a}$ و ${ displaystyle b}$ - دو مهمانی معروف دیگر
3. 3 مقادیر را پیدا کنید آ{ displaystyle a}, ب{ displaystyle b} و ج{ displaystyle c}. سپس آنها را به فرمول وصل کنید.
   • به عنوان مثال ، سمت RT در مقابل زاویه ناشناخته S قرار دارد ، بنابراین طرف RT اینگونه است ${ displaystyle c}$ در فرمول احزاب دیگر خواهند کرد ${ displaystyle a}$ و ${ displaystyle b}$... بنابراین ، فرمول به شرح زیر نوشته می شود: ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -2 (8) (10) cos {C}}$.
4. 4 اعداد را ضرب کنید. تکثیر کردن ${ displaystyle 2ab}$ توسط کسینوس زاویه ناشناخته
   • مثلا، ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$.
5. 5 راست شده ج{ displaystyle c} در یک مربع یعنی خود عدد را ضرب کنید.
   • مثلا، ${ displaystyle 144 = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$
6. 6 مربع ها را تا کنید آ{ displaystyle a} و ب{ displaystyle b}. اما ابتدا اعداد مربوطه را مربع کنید.
   • مثلا:
     ${ displaystyle 144 = 64 + 100-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle 144 = 164-160 cos {C}}$
7. 7 کسینوس زاویه ناشناخته را جدا کنید. برای این کار مقدار را کم کنید ${ displaystyle a ^ {2}}$ و ${ displaystyle b ^ {2}}$ از هر دو طرف معادله سپس هر طرف معادله را با ضریب کسینوس زاویه ناشناخته تقسیم کنید.
   • به عنوان مثال ، برای جداسازی کسینوس با زاویه ناشناخته ، 164 را از دو طرف معادله کم کنید ، و سپس هر ضلع را بر -160 تقسیم کنید:
     ${ displaystyle 144-164 = 164-164-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle -20 = -160 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-20} {- 160}} = { frac {-160 cos {C}} {- 160}}}$
     ${ displaystyle 0.125 = cos {C}}$
8. 8 کسینوس معکوس را محاسبه کنید. این مقدار زاویه ناشناخته را پیدا می کند. در ماشین حساب ، تابع کسینوس معکوس نشان داده شده است ${ displaystyle COS ^ {- 1}}$.
   • به عنوان مثال ، آرکوزین 0.0125 82.8192 است. بنابراین زاویه S 82.8192 درجه است.

روش 3 از 3: نمونه مسائل

1. 1 ضلع ناشناخته مثلث را پیدا کنید. اضلاع شناخته شده 20 سانتی متر و 17 سانتی متر است و زاویه بین آنها 68 درجه است.
   • از آنجا که به شما دو ضلع و زاویه بین آنها داده می شود ، می توانید از قضیه کسینوس استفاده کنید. فرمول را بنویسید: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • طرف مجهول است ${ displaystyle c}$... مقادیر شناخته شده را به فرمول وصل کنید: ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$.
   • محاسبه ${ displaystyle c ^ {2}}$، با رعایت ترتیب عملیات ریاضی:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) (0.3746)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -254.7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 400 + 289-254.7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 689-254،7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 434.2675}$
   • ریشه مربع دو طرف معادله را بگیرید. به این ترتیب می توانید طرف ناشناخته را پیدا کنید:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {434.2675}}}$
     ${ displaystyle c = 20.8391}$
     بنابراین ، طرف ناشناخته 20.8391 سانتی متر است.
2. 2 زاویه H را در مثلث GHI پیدا کنید. دو ضلع مجاور گوشه H 22 و 16 سانتی متر است طرف مقابل گوشه H 13 سانتی متر است.
   • از آنجا که هر سه ضلع ارائه شده است ، می توان از قضیه کسینوس استفاده کرد. فرمول را بنویسید: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • طرف مقابل گوشه ناشناخته است ${ displaystyle c}$... مقادیر شناخته شده را به فرمول وصل کنید: ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -2 (22) (16) cos {C}}$.
   • عبارت به دست آمده را ساده کنید:
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 740-704 cos {C}}$
   • کسینوس را جدا کنید:
     ${ displaystyle 169-740 = 740-740-704 cos {C}}$
     ${ displaystyle -571 = -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-571} {- 704}} = { frac {-704 cos {C}} {- 704}}}$
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
   • کسینوس معکوس را بیابید. نحوه محاسبه زاویه ناشناخته به شرح زیر است:
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
     ${ displaystyle 35.7985 = COS ^ {- 1}}$.
     بنابراین ، زاویه H 35.7985 درجه است.
3. 3 طول مسیر را پیدا کنید. مسیرهای رودخانه ، تپه ای و باتلاقی مثلثی را تشکیل می دهند. طول مسیر رودخانه 3 کیلومتر ، طول مسیر تپه ای 5 کیلومتر است. این مسیرها با زاویه 135 درجه با یکدیگر قطع می شوند. مسیر باتلاقی دو سر دیگر مسیرها را به هم متصل می کند. طول مسیر مرداب را بیابید.
   • مسیرها مثلثی تشکیل می دهند. شما باید طول مسیر ناشناخته را پیدا کنید ، که ضلع مثلث است. از آنجا که طول دو مسیر دیگر و زاویه بین آنها ذکر شده است ، می توان از قضیه کسینوس استفاده کرد.
   • فرمول را بنویسید: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • مسیر ناشناخته (Swamp) به صورت علامت گذاری می شود ${ displaystyle c}$... مقادیر شناخته شده را به فرمول وصل کنید: ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$.
   • محاسبه ${ displaystyle c ^ {2}}$:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) ( - 0.7071)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} - ( - 21.2132)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 9 + 25 + 21.2132}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 55.2132}$
   • ریشه مربع دو طرف معادله را بگیرید. به این ترتیب طول مسیر ناشناخته را پیدا می کنید:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {55.2132}}}$
     ${ displaystyle c = 7.4306}$
     بنابراین ، طول مسیر باتلاق 7.4306 کیلومتر است.

نکات

• استفاده از قضیه سینوس راحت تر است. بنابراین ، ابتدا دریابید که آیا می توان آن را برای مشکل داده شده اعمال کرد یا خیر.