محتوا

• مراحل
• قسمت 1 از 2: یافتن عوامل اولیه
• قسمت 2 از 2: استفاده از عوامل اولیه
• نمونه کارها
• نکات
• هشدارها

هر عدد طبیعی را می توان به حاصلضرب عوامل اولیه تجزیه کرد. اگر دوست ندارید با اعداد بزرگ مانند 5733 برخورد کنید ، نحوه فاکتورگیری آنها را بیاموزید (در این مورد ، 3 * 3 * 7 * 7 * 13). وظیفه مشابهی اغلب در رمزنگاری ، که به مشکلات امنیت اطلاعات می پردازد ، مواجه می شود. اگر هنوز آمادگی ایجاد سیستم ایمیل ایمن خود را ندارید ، ابتدا نحوه فاکتورگیری اعداد را بیاموزید.

مراحل

قسمت 1 از 2: یافتن عوامل اولیه

1. 1 بیاموزید که فاکتورینگ چیست. تجزیه یک عدد به حاصل عوامل ، فرایند "تقسیم" آن به قطعات کوچکتر است.وقتی ضرب شوند ، این قسمتها یا عوامل ، شماره اصلی را می دهند.
   • به عنوان مثال ، عدد 18 را می توان به محصولات زیر تجزیه کرد: 1 * 18 ، 2 * 9 یا 3 * 6.
2. 2 به یاد داشته باشید که اعداد اول چیست. یک عدد اول فقط بر دو عدد بدون باقی مانده تقسیم می شود: به خودی خود و بر 1. به عنوان مثال ، عدد 5 را می توان حاصلضرب 5 و 1 نشان داد. این عدد را نمی توان به عوامل دیگر تجزیه کرد. هدف از درنظرگرفتن یک عدد در عوامل اول ، نمایش آن به عنوان حاصل ضرب اعداد اول است. این امر به ویژه هنگام برخورد با کسرها مفید است ، زیرا به شما امکان می دهد آنها را مقایسه و ساده کنید.
3. 3 با شماره اصلی شروع کنید. یک عدد مرکب بزرگتر از 3 انتخاب کنید. گرفتن عدد اول منطقی نیست ، زیرا فقط بر خود و بر یک بخش پذیر است.
   • مثال: بیایید عدد 24 را به حاصلضرب اعداد اول تجزیه کنیم.
4. 4 بیایید این عدد را به حاصلضرب دو عامل تقسیم کنیم. دو عدد کوچکتر پیدا کنید که حاصلضرب آنها برابر عدد اصلی باشد. از هر عاملی می توان استفاده کرد ، اما گرفتن اعداد اول راحت تر است. یک راه خوب این است که سعی کنید عدد اصلی را ابتدا بر 2 ، سپس بر 3 و سپس بر 5 تقسیم کنید و بررسی کنید که کدام یک از این اعداد اول را بدون باقی مانده تقسیم می کند.
   • مثال: اگر عوامل را برای 24 نمی شناسید ، سعی کنید آن را بر اعداد اول کوچک تقسیم کنید. بنابراین متوجه خواهید شد که عدد داده شده بر 2: 24 = تقسیم می شود 2 در 12... شروع خوبی است.
   • از آنجا که 2 یک عدد اول است ، خوب است که از آن در معیار اعداد زوج استفاده کنیم.
5. 5 ساخت درخت ضرب را شروع کنید. این روش ساده به شما کمک می کند تا عددی را در نظر بگیرید. برای شروع ، دو "شاخه" از شماره اصلی به پایین بکشید. در انتهای هر شاخه ، عوامل یافت شده را بنویسید.
   • مثال:
   •    24
   •     /
   • 2    12
6. 6 ردیف بعدی اعداد را در نظر بگیرید. به دو عدد جدید (ردیف دوم درخت ضرب) نگاهی بیندازید. آیا هر دو عدد اول هستند؟ اگر یکی از آنها ساده نیست ، آن را نیز با دو عامل تعیین کنید. دو شاخه دیگر بسازید و دو فاکتور جدید در خط سوم درخت بنویسید.
   • مثال: 12 یک عدد اول نیست ، بنابراین باید آن را فاکتور گرفت. از تجزیه 12 = 2 * 6 استفاده کنید و آن را در خط سوم درخت بنویسید:
   •    24
   •     /
   • 2   12
   •        /
   • 2 6 6
7. 7 به پایین درخت ادامه دهید. اگر یکی از عوامل جدید عدد اول باشد ، یک "شاخه" از آن بکشید و همان عدد را در انتهای آن بنویسید. اعداد اول را نمی توان به عوامل کوچکتر بسط داد ، بنابراین فقط آنها را به یک سطح پایین ببرید.
   • مثال: 2 اول است. فقط 2 را از خط دوم به خط سوم منتقل کنید:
   •      24
   •       /
   •    2   12
   •   /       /
   • 2     2   6
8. 8 ادامه دادن به اعداد تا زمانی که تنها اعداد اول باقی نماند. هر خط جدید درخت را بررسی کنید. اگر حداقل یکی از عوامل جدید عدد اول نیست ، آن را فاکتور بگیرید و یک خط جدید بنویسید. در پایان ، فقط اعداد اول برای شما باقی می ماند.
   • مثال: 6 عدد اول نیست ، بنابراین باید آن را نیز فاکتور گرفت. در عین حال ، 2 یک عدد اول است و ما این دو را به سطح بعدی می بریم:
   •         24
   •          /
   •       2    12
   •      /       /
   •    2     2    6
   •   /      /      /
   • 2     2      2   3
9. 9 آخرین خط را به عنوان محصول عوامل اصلی بنویسید. در پایان ، فقط اعداد اول برای شما باقی می ماند. وقتی این اتفاق می افتد ، عامل اصلی کامل می شود. آخرین خط مجموعه ای از اعداد اول است که حاصل آن عدد اصلی را می دهد.
   • پاسخ خود را بررسی کنید: اعداد را در آخرین خط ضرب کنید. نتیجه باید عدد اصلی باشد.
   • مثال: آخرین ردیف درخت عامل شامل اعداد 2 و 3 است. هر دوی این اعداد اول هستند ، بنابراین تجزیه کامل است. بنابراین ، عامل اصلی 24 شکل زیر را دارد: 24 = 2 2 2 2 2 3 3.
   • ترتیب عوامل مهم نیست. تجزیه همچنین می تواند به صورت 2 * 3 * 2 * 2 نوشته شود.
10. 10 در صورت تمایل ، پاسخ خود را با استفاده از نماد نمایی ساده کنید. اگر با افزایش اعداد آشنا هستید ، می توانید پاسخ را به شکل ساده تری بنویسید.به یاد داشته باشید که پایه در پایین نوشته شده است و عدد فوق نشان می دهد که این پایه چند بار باید به خودی خود ضرب شود.
    • مثال: عدد 2 چند بار در تجزیه یافت شده 2 2 2 2 2 3 3 رخ می دهد؟ سه بار ، بنابراین عبارت 2 2 2 2 2 را می توان به صورت 2 نوشت. در نماد ساده شده ، دریافت می کنیم 2 3 3

قسمت 2 از 2: استفاده از عوامل اولیه

1. 1 بزرگترین تقسیم کننده مشترک دو عدد را بیابید. بزرگترین تقسیم کننده مشترک (GCD) دو عدد حداکثر عددی است که بر اساس آن هر دو عدد بدون باقی مانده تقسیم می شوند. مثال زیر نشان می دهد که چگونه از فاکتورگیری اول برای یافتن بزرگترین تقسیم کننده مشترک 30 و 36 استفاده کنیم.
   • بیایید هر دو عدد را به عوامل اول تبدیل کنیم. برای 30 ، فاکتورگیری 2 3 3 5. 5 است. عدد 36 به عوامل زیر به صورت زیر تجزیه می شود: 2 2 2 3 3 3 3.
   • بیایید عددی را که در هر دو بسط وجود دارد بیابیم. بیایید این عدد را در هر دو لیست خط بزنیم و آن را در یک خط جدید بنویسیم. به عنوان مثال ، 2 در دو گسترش رخ می دهد ، بنابراین ما می نویسیم 2 روی خط جدید پس از آن ، ما 30 = داریم 2 x 3 x 5 و 36 = 2 x 2 x 3 x 3.
   • این مرحله را تا زمانی که هیچ عامل مشترکی در بسط ها باقی نماند ، تکرار کنید. هر دو لیست شامل شماره 3 نیز می شوند ، بنابراین می توانید در یک خط جدید بنویسید 2 و 3... سپس دوباره بسط ها را مقایسه کنید: 30 = 2 3 3 x 5 و 36 = 2 x 2 x 3 x 3. همانطور که می بینید ، هیچ عامل مشترکی در آنها باقی نمانده است.
   • برای یافتن بزرگترین عامل مشترک ، حاصل همه عوامل مشترک را بیابید. در مثال ما ، اینها 2 و 3 هستند ، بنابراین gcd 2 * 3 = است 6... این بزرگترین عددی است که اعداد 30 و 36 را به طور مساوی تقسیم می کند.
2. 2 با کمک GCD ، می توانید کسرها را ساده کنید. اگر مشکوک به لغو کسری هستید ، از بزرگترین عامل مشترک استفاده کنید. با استفاده از روش فوق ، GCD شمارنده و مخرج را بیابید. سپس عدد و مخرج کسر را بر آن عدد تقسیم کنید. در نتیجه ، همان کسر را به شکل ساده تری بدست می آورید.
   • برای مثال ، بیایید کسر را ساده کنیم /₃₆... همانطور که در بالا ذکر شد ، برای 30 و 36 ، GCD 6 است ، بنابراین ما عدد و مخرج را بر 6 تقسیم می کنیم:
   • 30 ÷ 6 = 5
   • 36 ÷ 6 = 6
   • /₃₆ = /₆
3. 3 کمترین ضرب مشترک دو عدد را بیابید. کمترین ضرب مشترک (LCM) دو عدد کوچکترین عددی است که به طور مساوی بر هر دو عدد قابل تقسیم است. به عنوان مثال ، LCM 2 و 3 6 است زیرا این کوچکترین عددی است که می توان بر 2 و 3 بخش پذیر بود. در زیر نمونه ای از پیدا کردن LCM با استفاده از فاکتورسازی اول آورده شده است:
   • بیایید با دو عامل اصلی شروع کنیم. به عنوان مثال ، برای 126 ، عامل را می توان به صورت 2 3 3 3 3 7. 7 نوشت. عدد 84 را می توان به عوامل اصلی 2 2 2 3 3 7 7 تجزیه کرد.
   • بیایید مقایسه کنیم که هر عامل چند بار در بسط ها رخ می دهد. لیستی را که در آن ضرب کننده حداکثر تعداد دفعات رخ می دهد انتخاب کنید و این مکان را دور بزنید. به عنوان مثال ، عدد 2 یک بار در گسترش 126 و دو بار در لیست 84 نشان داده می شود ، بنابراین باید دور آن را بچرخانید 2 2 2 در فهرست دوم عوامل.
   • این مرحله را برای هر ضرب کننده تکرار کنید. به عنوان مثال ، 3 در اولین گسترش رایج تر است ، بنابراین باید در آن حلقه کنید 3 3 3... عدد 7 یکبار در هر دو لیست ظاهر می شود ، بنابراین ما دایره می کنیم 7 (مهم نیست که در کدام لیست ، اگر عامل داده شده در هر دو لیست به تعداد یکسان رخ دهد).
   • برای پیدا کردن LCM ، تمام اعداد حلقه شده را ضرب کنید. در مثال ما ، کمترین ضرب مشترک 126 و 84 این است 2 2 2 3 3 3 3 7 7 = 252... این کوچکترین عددی است که بر 126 و 84 بدون باقی مانده تقسیم می شود.
4. 4 برای افزودن کسر از LCM استفاده کنید. هنگام افزودن دو کسر ، لازم است که آنها را به یک مخرج مشترک بیاوریم. برای انجام این کار ، LCM دو مخرج را پیدا کنید. سپس عدد و مخرج هر کسر را در چنان عددی ضرب کنید که مخرج کسرها برابر LCM باشد. پس از آن ، می توانید کسرها را اضافه کنید.
   • به عنوان مثال ، شما باید مقدار را پیدا کنید /₆ + /₂₁.
   • با استفاده از روش فوق ، می توانید LCM را برای 6 و 21 پیدا کنید. 42 است.
   • کسر را تبدیل می کنیم /₆ به طوری که مخرج آن 42 است. برای انجام این کار ، شما باید 42 را بر 6 تقسیم کنید: 42 ÷ 6 = 7. حالا شمارنده و مخرج کسر را در 7 ضرب کنید: /₆ ایکس /₇ = /₄₂.
   • برای رساندن کسر دوم به مخرج 42 ، 42 را بر 21 تقسیم کنید: 42 ÷ 21 = 2. عدد و مخرج کسر را در 2 ضرب کنید: /₂₁ ایکس /₂ = /₄₂.
   • پس از کاهش کسرها به مخرج یکسان ، می توان آنها را به راحتی اضافه کرد: /₄₂ + /₄₂ = /₄₂.

نمونه کارها

• سعی کنید مشکلات زیر را خودتان حل کنید.اگر فکر می کنید که پاسخ صحیح را دریافت کرده اید ، مکان ماوس را در دستور مشکل با ماوس مشخص کنید. کارهای اخیر سخت ترین هستند.
• عامل اصلی را برای 16: 2 2 2 2 2 2 2 بیابید
• پاسخ خود را به صورت نمایی بنویسید: 2
• ضریب اصلی 45: 3 3 3 5 5 را بیابید
• پاسخ خود را به صورت نمایی بنویسید: 5 * 3
• عامل اصلی را برای 34: 2 17 17 بیابید
• ضریب اصلی 154 را بیابید: 2 7 7 11 11
• ضریب اصلی 8 و 40 را بیابید و سپس بزرگترین عامل مشترک آنها را تعیین کنید: عامل اصلی 8 برابر 2 2 2 2 2 2 2 است. عامل اصلی 40 2 2 2 2 2 5 5 است. GCD دو عدد 2 x 2 x 2 = 6.
• ضریب اصلی 18 و 52 را بیابید و حداقل ضرب مشترک آنها را بیابید: ضریب اصلی 18 برابر 2 3 3 3 3 است. عامل اصلی 52 ، 2 2 2 13 13 است. LCM دو عدد 2 2 2 3 3 3 3 13 13 = 468 است.

نکات

• هر عدد دارای ویژگی عامل بندی منحصر به فرد خود است. مهم نیست که چگونه این گسترش را پیدا می کنید ، باید به همان پاسخ برسید. این قضیه را قضیه اساسی حساب می نامند.
• به جای بازنویسی اعداد اول در یک خط جدید از درخت عامل ، می توانید آنها را در جای خود رها کرده و به سادگی دور آنها بچرخید. در پایان بسط ، همه عوامل اولیه حلقه را شامل می شود.
• همیشه پاسخی را که دریافت می کنید بررسی کنید. می توانید اشتباه کنید و متوجه آن نشوید.
• برای مأموریت های دشوار آماده شوید. اگر از شما خواسته می شود که یک عامل اول یک عدد اول را بیابید ، نیازی به انجام هیچ محاسبه ای نیست. به عنوان مثال ، برای عدد 17 ، عامل اصلی 17 است. این عدد را نمی توان به سایر عوامل اولیه تجزیه کرد.
• بزرگترین عامل مشترک و حداقل ضرب مشترک را می توان برای سه یا چند عدد یافت.

هشدارها

• درخت ضرب به شما امکان می دهد فقط عوامل اصلی را تعیین کنید ، نه همه عوامل ممکن.