محتوا

• گام برداشتن

معادله مثلثاتی معادله ای است که دارای یک یا چند توابع مثلثاتی از منحنی مثلثاتی متغیر x است. حل برای x به معنای یافتن مقادیر منحنی مثلثاتی است که توابع مثلثاتی آنها باعث درست بودن معادله مثلثاتی می شود.

• پاسخ ها یا مقادیر منحنی های محلول بر حسب درجه یا شعاع بیان می شوند. مثال ها:

x = Pi / 3 ؛ x = 5Pi / 6 ؛ x = 3Pi / 2 ؛ x = 45 درجه ؛ x = 37.12 درجه ؛ x = 178.37 درجه

• توجه: در دایره واحد ، توابع مثلثاتی هر منحنی برابر با توابع مثلثاتی زاویه مربوطه است. دایره واحد تمام توابع مثلثاتی منحنی متغیر x را تعریف می کند. همچنین به عنوان اثبات در حل معادلات مثلثاتی و نابرابری های اساسی استفاده می شود.
• نمونه هایی از معادلات مثلثاتی:
  • sin x + sin 2x = 1/2 ؛ tan x + cot x = 1.732؛
  • cos 3x + sin 2x = cos x؛ 2sin 2x + cos x = 1.

1. دایره واحد.
   • این یک دایره با شعاع = 1 است ، جایی که مبدا O است. دایره واحد 4 عملکرد اصلی مثلثاتی منحنی متغیر x را تعریف می کند که بر خلاف جهت عقربه های ساعت آن را دایره می کند.
   • هنگامی که منحنی با مقدار x در دایره واحد تغییر می کند ، نگه دارید:
   • محور افقی OA تابع مثلثاتی f (x) = cos x را تعریف می کند.
   • محور عمودی OBy تابع مثلثاتی f (x) = sin x را تعریف می کند.
   • محور عمودی AT تابع مثلثاتی f (x) = tan x را تعریف می کند.
   • محور افقی BU تابع مثلثاتی f (x) = cot x را تعریف می کند.

• از دایره واحد همچنین برای حل معادلات مثلثاتی اساسی و نابرابری های مثلثاتی استاندارد با در نظر گرفتن موقعیت های مختلف منحنی x روی دایره استفاده می شود.

گام برداشتن

1. روش حل را بفهمید.
   • برای حل یک معادله مثلثاتی آن را به یک یا چند معادله مثلثاتی اساسی تبدیل می کنید. حل معادلات مثلثاتی در نهایت منجر به حل 4 معادله مثلثاتی اساسی می شود.
2. بدانید چگونه معادلات مثلثاتی اساسی را حل کنید.
   • 4 معادله مثلثاتی اساسی وجود دارد:
   • sin x = a ؛ cos x = a
   • tan x = a؛ تخت x = a
   • می توانید معادلات اساسی مثلثاتی را با مطالعه موقعیت های مختلف منحنی x روی دایره مثلثاتی و با استفاده از جدول تبدیل مثلثاتی (یا ماشین حساب) حل کنید. برای درک کامل نحوه حل این معادلات مثلثاتی اساسی و مشابه آن ، کتاب زیر را بخوانید: "مثلثات: حل معادلات مثلثات و نابرابری ها" (Amazon E-book 2010).
   • مثال 1. برای sin x = 0.866 حل کنید. جدول تبدیل (یا ماشین حساب) جواب می دهد: x = Pi / 3. دایره مثلثاتی منحنی دیگری (2Pi / 3) با همان مقدار برای سینوس (0.866) می دهد. دایره مثلثاتی نیز بینهایت پاسخهایی را ایجاد می کند که به آنها پاسخهای گسترده گفته می شود.
   • x1 = Pi / 3 + 2k.Pi و x2 = 2Pi / 3. (پاسخ در یک دوره (0 ، 2Pi))
   • x1 = Pi / 3 + 2k Pi و x2 = 2Pi / 3 + 2k Pi. (پاسخ های تفصیلی)
   • مثال 2. حل کنید: cos x = -1/2. ماشین حساب ها x = 2 Pi / 3 می دهند. دایره مثلثاتی نیز x = -2Pi / 3 می دهد.
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi و x2 = - 2Pi / 3. (پاسخ های دوره (0 ، 2Pi))
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k Pi و x2 = -2Pi / 3 + 2k.Pi. (پاسخهای مبسوط)
   • مثال 3. حل: tan (x - Pi / 4) = 0.
   • x = Pi / 4 ؛ (پاسخ)
   • x = Pi / 4 + k Pi ؛ (پاسخ مبسوط)
   • مثال 4. حل: تختخواب 2x = 1.732. ماشین حساب ها و دایره مثلثاتی:
   • x = Pi / 12 ؛ (پاسخ)
   • x = Pi / 12 + k Pi ؛ (پاسخهای مبسوط)
3. تبدیلات مورد استفاده در حل معادلات مثلثاتی را بیاموزید.
   • برای تبدیل معادله مثلثاتی معادلات معادلات مثلثاتی استاندارد ، از تبدیل های جبری استاندارد (فاکتور ، فاکتور مشترک ، چند جمله ای ها ...) ، تعاریف و خصوصیات توابع مثلثاتی و هویت های مثلثاتی استفاده کنید. در حدود 31 وجود دارد که 14 مورد از آنها هویت مثلثاتی هستند ، از 19 به 31 که به آنها هویت تبدیل نیز گفته می شود ، زیرا از آنها در تبدیل معادلات مثلثاتی استفاده می شود. به کتاب فوق مراجعه کنید.
   • مثال 5: معادله مثلثاتی: sin x + sin 2x + sin 3x = 0 می تواند با استفاده از هویت های مثلثاتی به محصولی از معادلات مثلثاتی اساسی تبدیل شود: 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. معادلات مثلثاتی اساسی برای حل عبارتند از: cos x = 0؛ گناه (3x / 2) = 0 ؛ و cos (x / 2) = 0.
4. منحنی هایی که توابع مثلثاتی برای آنها شناخته شده است را پیدا کنید.
   • قبل از اینکه یاد بگیرید چگونه معادلات مثلثاتی را حل کنید ، باید بدانید چگونه منحنی هایی را که توابع مثلثاتی برای آنها شناخته شده اند ، به سرعت پیدا کنید. مقادیر تبدیل منحنی ها (یا زاویه ها) را می توان با جداول مثلثاتی یا ماشین حساب تعیین کرد.
   • مثال: برای cos x = 0.732 حل کنید. ماشین حساب محلول x = 42.95 درجه می دهد. دایره واحد منحنی های دیگری با همان مقدار برای کسینوس می دهد.
5. قوس جواب را روی دایره واحد بکشید.
   • برای نشان دادن راه حل روی دایره واحد می توانید گرافی ایجاد کنید. نقاط انتهایی این منحنی ها چند ضلعی های منظم روی دایره مثلثاتی هستند. چند نمونه:
   • نقاط انتهایی منحنی x = Pi / 3 + k. Pi / 2 یک مربع روی دایره واحد است.
   • منحنی های x = Pi / 4 + k.Pi / 3 با مختصات یک شش ضلعی روی دایره واحد نشان داده می شود.
6. بیاموزید که چگونه معادلات مثلثاتی را حل کنید.
   • اگر معادله مثلثاتی داده شده فقط حاوی یک تابع مثلثاتی است ، آن را به عنوان یک معادله مثلثاتی استاندارد حل کنید. اگر معادله داده شده شامل دو یا چند توابع مثلثاتی باشد ، بسته به گزینه های تبدیل معادله ، 2 روش حل وجود دارد.
     • الف. روش 1
   • معادله مثلثاتی را به محصولی از فرم تبدیل کنید: f (x) .g (x) = 0 یا f (x) .g (x) .h (x) = 0 ، جایی که f (x) ، g (x) و h (x) معادلات مثلثاتی اساسی هستند.
   • مثال 6. حل: 2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2Pi)
   • راه حل. با استفاده از هویت sin 2x را در معادله جایگزین کنید: sin 2x = 2 * sin x * cos x.
   • cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. سپس 2 توابع مثلثاتی استاندارد را حل کنید: cos x = 0 و (sin x + 1) = 0.
   • مثال 7. حل: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2Pi)
   • راه حل: با استفاده از هویت های مثلثاتی این را به محصولی تبدیل کنید: cos 2x (2cos x + 1) = 0. حال 2 معادله مثلثاتی اساسی را حل کنید: cos 2x = 0 و (2cos x + 1) = 0.
   • مثال 8. حل: sin x - sin 3x = cos 2x. (0 2 2Pi)
   • راه حل: با استفاده از هویت های مثلثاتی این را به محصولی تبدیل کنید: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. حال 2 معادله مثلثاتی اساسی را حل کنید: cos 2x = 0 و (2sin x + 1) = 0.
     • ب. رویکرد 2.
   • معادله تریگ را فقط با یک تابع trig منحصر به فرد به عنوان یک متغیر به یک معادله تریگ تبدیل می کند. نکاتی درباره نحوه انتخاب متغیر مناسب وجود دارد. متغیرهای متداول عبارتند از: sin x = t؛ cos x = t ؛ cos 2x = t ، قهوهای مایل به زرد x = t و قهوهای مایل به زرد (x / 2) = t.
   • مثال 9. حل: 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2Pi).
   • راه حل. در این معادله ، (cos ^ 2x) را با (1 - sin ^ 2x) جایگزین کنید و معادله را ساده کنید:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. اکنون از sin x = t استفاده کنید. معادله می شود: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. این یک معادله درجه دوم با 2 ریشه است: t1 = -1 و t2 = 9/5. ما می توانیم t2 دوم را رد کنیم ، زیرا> 1. اکنون برای: t = sin = -1 -> x = 3Pi / 2 حل کنید.
   • مثال 10. حل: tan x + 2 tan ^ 2 x = cot x + 2.
   • راه حل. از tan x = t استفاده کنید. معادله داده شده را به عنوان یک متغیر به یک معادله تبدیل کنید: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. برای t از این محصول حل کنید ، سپس معادله مثلثاتی استاندارد tan x = t را برای x حل کنید.
7. معادلات مثلثاتی خاص را حل کنید.
   • چند معادله مثلثاتی خاص وجود دارد که نیاز به برخی تبدیل های خاص دارد. مثال ها:
   • a * sin x + b * cos x = c؛ a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c ؛
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. خواص تناوبی توابع مثلثاتی را بیاموزید.
   • همه توابع مثلثاتی دوره ای هستند ، به این معنی که آنها پس از چرخش در یک دوره به همان مقدار برمی گردند. مثال ها:
     • تابع f (x) = sin x دارای 2Pi به عنوان یک دوره است.
     • تابع f (x) = tan x دارای Pi به عنوان یک دوره است.
     • تابع f (x) = sin 2x دارای Pi به عنوان یک دوره است.
     • تابع f (x) = cos (x / 2) دارای 4Pi به عنوان دوره است.
   • اگر دوره در تمرینات / آزمون مشخص شده باشد ، فقط باید منحنی (های) x را در این دوره پیدا کنید.
   • توجه: حل معادلات مثلثاتی بسیار مشکل است و اغلب منجر به خطا و اشتباه می شود. بنابراین ، پاسخ ها باید به دقت بررسی شوند. پس از حل ، می توانید پاسخ ها را با استفاده از یک ماشین حساب نمودار برای بررسی مستقیم معادله مثلثاتی R (x) = 0 بررسی کنید. پاسخ ها (به عنوان ریشه مربع) در رقم اعشار داده می شوند. به عنوان مثال ، Pi دارای مقدار 3.14 است